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École de Technologie Supérieure GTS-620 Biomatériaux Département génie mécaniqu

École de Technologie Supérieure GTS-620 Biomatériaux Département génie mécanique Laboratoire - hiver 2009 Page 1 Complément au laboratoire 1 Diagramme contrainte-déformation d’ingénierie et réel A- Rappel Soit un une éprouvette de traction de longueur initiale 0 l et de section initiale 0 A . La contrainte moyenne (stress) d’une section de l’échantillon lors d’un test de traction est approximé par la force appliquée divisée par l’aire de cette section : 0 F A σ = (1) La déformation (strain) dans la direction longitudinale de l’échantillon est approximée par le changement de longueur de l’éprouvette divisé par la longueur initiale : 0 0 0 l l l l l ε − Δ = = (2) On peut définir l’allongement (stretch) λ à partir de cette équation : 0 1 1 l l ε λ = −= − (3) Ces valeurs sont dites « d’ingénierie » puisqu’elles utilisent des valeurs de référence fixes ( 0 A et 0 l ). En réalité, ces valeurs évoluent lors de l’essai de traction. L’utilisation des valeurs d’ingénierie mènent donc à une erreur négligeable jusqu’à un certain seuil de déformation. B- Valeurs réelles Contrainte réelle La contrainte réelle tient compte du changement de section de l’échantillon lors de l’essai de traction. L’idéal est de mesurer la section instantanée (A) de l’échantillon pendant l’essai. Puisqu’il est difficile de mesurer A pendant l’essai, l’hypothèse de la conservation du volume est souvent utilisée pour l’estimer. Selon cette hypothèse, et si l’élongation est constante dans la zone de mesure : 0 0 A l V A l l ⋅ = = (4) La contrainte réelle devient donc : 0 0 r F l A l σ ⋅ = ⋅ (5) École de Technologie Supérieure GTS-620 Biomatériaux Département génie mécanique Laboratoire - hiver 2009 Page 2 Ou encore, en y introduisant les équations (1) et (3) : r ing σ σ λ = ⋅ (6) Déformation réelle Si le changement de longueur est très faible, l’équation (2) peut s’écrire : 0 dl d l ε = (7) Si la longueur initiale est constante, on voit qu’il est possible de retrouver la déformation d’ingénierie: 0 0 0 0 0 1 l ing l l l l dl l l l ε − Δ = = = ∫ (8) Cette définition est satisfaisante pour de faible valeur de l Δ . Par contre, si la déformation est plus importante, l’équation (7) devient: 0 0 0 ln l r l dl l l l ε = = ∫ (9) On appelle l’équation (9) la déformation réelle (ou naturelle, ou logarithmique). On peut l’exprimer en fonction de la déformation d’ingénierie en combinant les équations (3) et (9): ln( 1) r ing ε ε = + (10) B- Exemple Tel que mentionné précédemment, l’utilisation des contraintes et des déformations d’ingénierie peut être acceptable dans certains cas. On juge habituellement qu’en deçà de 10% leur utilisation ne mène qu’à une très faible erreur. Cette situation inclus les déformations élastiques de la plupart des métaux conventionnels, tel l’acier. L’exemple numérique suivant illustre ce propos : Allongement Force Défo. ing. Contrainte ing. Défo. réelle Contrainte réelle 0 0 0 0 0 0 2 9100 0.08 224.619258 0.076961041 242.5887987 4 11600 0.16 286.3278454 0.148420005 332.1403006 6 12800 0.24 315.9479673 0.21511138 391.7754795 8 13500 0.32 333.2263718 0.277631737 439.8588108 10 14000 0.4 345.5680893 0.336472237 483.795325 12.5 14200 0.5 350.5047762 0.405465108 525.7571644 École de Technologie Supérieure GTS-620 Biomatériaux Département génie mécanique Laboratoire - hiver 2009 Page 3 0 100 200 300 400 500 600 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Déformations Contraintes, MPa eng. stress-eng. strain true stress-true strain Cependant, pour les matériaux polymériques, les très grandes déformations impliquées obligent l’utilisation des valeurs réelles. Ces deux courbes de traction d'un polymère démontrent bien ce point : 0.00E+00 1.00E+06 2.00E+06 3.00E+06 4.00E+06 5.00E+06 6.00E+06 7.00E+06 8.00E+06 9.00E+06 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Déformation ing. (%) Contrainte ing. (Pa) 0.00E+00 1.00E+06 2.00E+06 3.00E+06 4.00E+06 5.00E+06 6.00E+06 7.00E+06 8.00E+06 9.00E+06 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Déformation log. (%) Contrainte réelle (Pa) C- Références Schey, J. A. (2000). Introduction to manufacturing process (3 ed.). New-York: McGraw-Hill Dieter, G.E. (1986). Mechanical metallurgy (3 ed.). New-York: McGraw-Hill uploads/Voyage/ diagramme-reel-de-traction-pdf.pdf