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normesoperateurs corrige

Planche no Applications linéaires continues normes matricielles Corrigé ? no I ? Soit P ?? E Si on pose P akXk il existe n ?? N tel que ??k n ak Donc P ? k Sup P k k k ??N Max ak k n existe dans R ? ??P ?? E P ? ? Soit P ?? E P ? ?? ??k ?? N ak ?? ??k ?? N ak ?? P ? Soient P ?? E et ? ?? R ?P ? Max ?ak k n ? Max ak k n ? P ? ? Soient P akXk et Q bkXk deux polynômes Pour k ?? N ak bk k k P Q ? P ? Q ? ak bk P ? Q ? et donc ? est une norme sur E ??P ?? E f P ? P ? et donc ??P ?? E f P ? On en déduit que Sup P ? montre tout à la fois que f est continue sur E ? et f f P ? P ?? E Ceci P ? f est continue sur E ? et f no La linéarité de ? est claire et de plus ? est un endomorphisme de E car si u est une suite bornée ? u l ? est encore Plus précisément ??u ?? E ??n ?? N ? u n un un u ? et donc ??u ?? E ? u ? u ? Ceci montre que ? est continu sur E et ? Ensuite si u est la suite dé ?nie par ??n ?? N un ?? n alors u est un élément non nul de E tel que u ? et ? u ? En résumé ? ??u ?? E ? ??u ?? E ? u ? u ? ? u ? u ? On en déduit que ? est continu sur E ? et ? La linéarité de C est claire et C est un endomorphisme de E car si u est bornée C u l ? est encore Plus précisément ??u ?? E ??n ?? N C u n n n u ? u ? et donc ??u ?? E C u ? k u ? Par suite T est continue sur E et T Ensuite si u est la suite dé ?nie par ??n ?? N un alors u est un élément non nul de E tel que u ? et C u ? En résumé ? ??u ?? E ? ??u ?? E C u ? u ? C u ? u ? On en déduit que C est continu sur E ? et C c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés http www maths-france fr Cno Soit f ?? E x Tf Tf x dx f t dt dx x f t dt dx f t dt dx f dx f Ceci montre que ??f ?? E Tf f Ceci montre que T est continu sur E et que T Pour n ?? N et x