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AntillesGuyane Enseignement spéci ?que EXERCICE points commun à tous les candidats La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B Partie A On considère une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre ? avec ? On rappelle que pour tout réel a strictement positif a P X a ?e ?? ?t dt On se propose de calculer l ? espérance mathématique de X notée E X et dé ?nie par x E X lim ?te ?? ?t dt x ? ? On note R l ? ensemble des nombres réels On admet que la fonction F dé ?nie sur R par F t ?? sur R par f t ?te ?? ?t t ? e ?? ?t est une primitive sur R de la fonction f dé ?nie Soit x un nombre réel strictement positif Véri ?er que x ?te ?? ?t dt ? ?? ?xe ?? ?x ?? e ?? ?x En déduire que E X ? Partie B La durée de vie exprimée en années d ? un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée X suivant la loi exponentielle de paramètre ? avec ? La courbe de la fonction densité associée est représentée en annexe Sur le graphique de l ? annexe à rendre avec la copie a Représenter la probabilité P X b Indiquer o? se lit directement la valeur de ? On suppose que E X a Que représente dans le cadre de l ? exercice la valeur de l ? espérance mathématique de la variable aléatoire X b Calculer la valeur de ? c Calculer P X On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à près Interpréter ce résultat d Sachant que le composant a déjà fonctionné une année quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d ? au moins trois années On donnera la valeur exacte Partie C Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés et On note D l ? événement le composant est défaillant avant un an ? et on note D l ? événement le composant est défaillant avant un an ? On suppose que les deux événements D et D sont indépendants et que P D P D Deux montages possibles sont envisagés présentés ci-dessous Circuit en parallèle A http www maths-france fr Circuit en série B ? c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés C Lorsque les deux composants sont montés en parallèle ? le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an Lorsque les deux composants sont montés en série ? le circuit B est défaillant dès que l ? un au moins des deux composants est défaillant Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an http www maths-france fr ? c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés CA RENDRE AVEC LA COPIE ANNEXE de l ? exercice y