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1 derivee ? - Gérard Lavau - http lavau pagesperso-orange fr index htm Vous avez toute liberté pour télécharger imprimer photocopier ce cours et le di ?user gratuitement Toute di ?usion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord

? - Gérard Lavau - http lavau pagesperso-orange fr index htm Vous avez toute liberté pour télécharger imprimer photocopier ce cours et le di ?user gratuitement Toute di ?usion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement Vous ne pouvez pas télécharger les ?chiers de mon site pour les installer sur le vôtre DERIVATION PLAN I Dérivée Dé ?nition Opérations Dérivées successives II Théorème de Rolle et conséquences Théorème de Rolle Théorème des accroissements ?nis Applications I Dérivée ?? Dé ?nition DEFINITION f dé ?nie sur un intervalle I est dérivable en x élément de I s'il existe un réel noté f ' x tel que f x h f x hf ' x o h quand h tend vers Cette dé ?nition est équivalente à lim h ? f x h ?? h f x f ' x La droite d'équation y f ' x x ?? x f x est la droite tangente au graphe représentatif de f au point d'abscisse x Au lieu de f ' on trouve également les notations Df ou ddxf La dé ?nition précédente s'applique aussi aux fonctions à valeurs complexes Si f est à valeurs complexes de parties réelle g et imaginaire h il résulte du calcul des limites d'une telle fonction en séparant précisément partie réelle et imaginaire que f ' g' ih' La dé ?nition est également équivalente à l'existence d'une fonction continue en x telle que f x f x x ?? x x avec x f ' x En dehors de x x est égal au taux d'accroissement f x x ?? ?? f x x Il résulte immédiatement de la dé ?nition qu'une fonction dérivable est continue La réciproque est fausse comme le prouve l'exemple de x en Si on se limite à h on parle de dérivée à droite Si l'on se limite à h on parle de dérivée à gauche Si f est dérivable à droite et à gauche de x et si les deux dérivées sont égales alors f est dérivable en x - - CLa fonction x ? x est dérivable à droite et à gauche de Il existe des fonctions continues n'admettant aucune dérivée à droite et à gauche de par exemple x ? x sin x Il existe des fonctions continues dérivables en aucun point mais la présentation d'un contre-exemple dépasse le niveau de première année ?? Opérations Les résultats relatifs à la somme au produit au quotient de fonctions dérivables étant censés être bien connus nous nous limiterons à a Composition Soit f dérivable en x et g dérivable en f x Alors g o f est dérivable en x et g o f ' x g' f x f ' x En e ?et il existe deux fonctions et ? continue en