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Chap 13 integration Lycée Paul Rey Denis Augier Chapitre Intégration I Intégrale et aire A Intégrale d ? une fonction continue et positive Dé ?nition Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle ra bs L ? intégrale de a à b de la fonction f

Lycée Paul Rey Denis Augier Chapitre Intégration I Intégrale et aire A Intégrale d ? une fonction continue et positive Dé ?nition Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle ra bs L ? intégrale de a à b de la fonction f est l ? aire en unité d ? aire du domaine situé sous la courbe C c ? est-à-dire entre C l ? axe des abscisses et les droites d ? équation x ?? a et x ?? b On la note ?b f pxq dx a C u a a O b Proposition ?a Pour toute fonction f continue et positive sur ra bs f pxq dx ?? a Exercices à page puis à page - B Cas d ? une fonction f continue et négative sur ra bs ?b ?b aire Df q ?? f pxq dx ?? ? f pxq dx a a D ?f C ?f ?b Vocabulaire On dira que f pxq dx est l ? aire algébrique du domaine Df a O b a Elle est positive si f est positive sur ra bs et négative si f est négative sur ra bs Df Cf C Cas d ? une fonction f continue et de signe quelconque sur ra bs L ? aire de Df est la somme des aires algébriques des domaines dé ?nis par des intervalles sur lesquels f garde un signe constant Dans l ? exemple ci-contre ?c ?b ?b aire Df f pxq dx ? f pxq dx ?? f pxq dx a c a a c O b Cf TS - CLycée Paul Rey Denis Augier D Aire d ? un domaine entre deux courbes Si Cf est au-dessus de Cg sur ra bs alors l ? aire du domaine D délimité par Cf et Cg sur ra bs est ?b aire D pf ? gqpxq dx a Cf D Cg a O b II Intégrales et primitives A Théorème fondamental Théorème Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle ra bs ?x La fonction F x ? ? f ptq dt est dérivable sur ra bs et a pour dérivée f Donc F est la primitive de a f qui s ? annule en a Exercice Déterminer les dérivée des fonctions suivantes ?x a F x ? ? t dt sur R ?x b G x ? ? lnptq dt sur s r ? ?x c H x ? ? sinptq dt sur R avec a P R On remarquera que H est la composée de la fonction J x ? ? ?x a sinptq dt et de la fonction u x ? ? ?x On a H ?? J u a ?x d L x ? ? t dt sur R ?x Exercice Soit f R ? R de classe C et F R ? ? R dé ?nie par x P R ? F pxq ?? x ?x ?x f ptqdt a Montrer que F peut être prolongée par