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Corrige web Préparation Olympique PRÉPARATION OLYMPIQUE FRANÇAISE DE MATHÉMATIQUES POFM Mathématiques TEST DU ER AVRIL DURÉE H Instructions Rédigez les di ?érents problèmes sur des copies distinctes Sur chaque copie écrivez en haut à gauche votre nom en m

Préparation Olympique PRÉPARATION OLYMPIQUE FRANÇAISE DE MATHÉMATIQUES POFM Mathématiques TEST DU ER AVRIL DURÉE H Instructions Rédigez les di ?érents problèmes sur des copies distinctes Sur chaque copie écrivez en haut à gauche votre nom en majuscules votre prénom en minuscules Écrivez votre classe et le numéro du problème traité en haut à droite Le groupe Junior est constitué des élèves nés en ou après Ces élèves doivent traiter les exercices à Le groupe Senior est constitué des élèves nés en ou avant Ces élèves doivent traiter les exercices à On demande des solutions complètement rédigées o? toute af ?rmation est soigneusement justi ?ée La notation tiendra compte de la clarté et de la précision de la copie Travaillez d ? abord au brouillon et rédigez ensuite au propre votre solution ou une tentative rédigée de solution contenant des résultats signi ?catifs pour le problème Ne rendez pas vos brouillons ils ne seraient pas pris en compte Une solution complète rapportera plus de points que plusieurs tentatives inachevées Il vaut mieux terminer un petit nombre de problèmes que de tous les aborder Règles équerres et compas sont autorisés Les rapporteurs sont interdits Les calculatrices sont interdites ainsi que tous les instruments électroniques Dans le cas d ? un exercice de géométrie faire une voire plusieurs ?gure sur une feuille blanche séparée Cette ?gure devra être propre grande et la propriété que l ? on cherche à démontrer devra être apparente par exemple s ? il faut démontrer que des points sont alignés ou cocycliques il faut tracer la droite ou le cercle qui passe par ces points Le respect de la consigne précédente rapportera automatiquement un point Si elle n ? est pas respectée la copie ne sera pas corrigée Chaque exercice est noté sur points Après l ? épreuve merci de renvoyer les copies par voie électronique à l ? adresse suivante copies ofm gmail com CExercices Junior Exercice Soit a a la suite d ? entiers telle que a et pour tout entier n an an an Démontrer pour tout entier n que a n divise an Solution de l ? exercice Pour tout entier n posons bn a n On conclut en constatant directement que bn ?? a n an ?? bn an ?? an ?? bn ?? mod bn Solution alternative n Il suf ?t de constater pour tout entier n que a n an an a n a n an an a n an an a n an a n a n an a n a n a n a n an a n an an an an est e ?ectivement un multiple de a n Commentaire des correcteurs L ? exercice a été bien résolu Certains ont tenté une récurrence sans grand succès car il était dif ?cile d ? obtenir le résultat par récurrence Peu de copies ont travaillé modulo a n ce qui simpli ?ait pourtant grandement les calculs CExercice On répartit les entiers de en deux ensembles A et B puis