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Devoiramimath7c1 2015 ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Niveau C DEVOIR DE MATHS Durée h Proposé le Janvier de h à h Exercice points Soit ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? et E ?? ? ?? l ? équation z ?? ?? ? i ?? zei ? ? ??

ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Niveau C DEVOIR DE MATHS Durée h Proposé le Janvier de h à h Exercice points Soit ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? et E ?? ? ?? l ? équation z ?? ?? ? i ?? zei ? ? ?? ? i ??e i ? ? a Résoudre E ?? ? ?? on note z' et z'' les solutions telles que z' ? z'' b Mettre sous forme exponentielle le nombre z'' ?? ?? Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O u v On considère les ponts A B C d ? a ?xes respectives ei ? ?? ? i ??ei ? iei ? a Montrer que les droites ??OA ?? ??OC ?? d ? une part et ??BO ?? ??BA ?? d ? autre part sont perpendiculaires b Pour ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? placer les points A B C c Montrer que OABCest un trapèze rectangle d Montrer que l ? aire du quadrilatère OABCest indépendante de ? Exercice points Soit p un nombre premier supérieur ou égal à On pose n ? p ?? a Montrer que l'on a p ? ?? ? ou p ? ?? ?? ? b En déduire que n est divisible par a Véri ?er que p est impair En justi ?er qu'il existe un entier naturel k tel que p ? ?? ? k ??k ? ?? b En déduire que n est divisible par a Quel sont les restes possibles de p modulo b En déduire que divise n c Soit a et b deux entiers naturels premiers entre eux Montrer que si a et b divisent c alors ab divise c d En déduire que divise n Exercice points Partie A Soit g la fonction dé ?nie sur ?? ? ?? par g ??x ?? ? x ??x ? ?? Dresser le tableau de variations de g sur ?? ? ?? Démontrer que l ? équation g ??x ?? ? admet sur ?? ? ?? une unique solution ?? dont on donnera une valeur approchée à ?? En déduire la résolution de l ? inéquation g ?? x ?? ? sur ?? ? ?? Partie B Soit f la fonction dé ?nie sur orthonormal unité cm Etudier la parité de f ?? par f ??x ?? ? x ? ? x x et Cf sa courbe représentative dans un repère Devoir de maths C heures Proposé par l ? association des amis de maths AMIMATHS Page C Déterminer lim f ??x ?? et lim f ??x ?? en déduire lim f ??x ?? et lim f ??x ?? x ? x ? x ?? x ?? Peut-on en déduire une ou plusieurs droites asymptotes à la courbe Cf Démontrer que la droite D d ? équation y ? x ? est asymptote à la courbe Cf en ? en déduire l ?