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Exercices communication corriges

Université Pierre Marie Curie L Mathématiques Module LM Feuille d'exercices n Codes correcteurs d'erreurs Exercice On considère les codes binaires suivants C ? F C ? F C ? F Dire dans chaque cas si le code est linéaire ainsi que le nombre d'erreurs qu'il peut détecter et corriger Exercice Construire un code binaire de mots de longueur et de distance minimum Montrer qu'un code binaire C de longueur et de distance minimum possède au plus mots Exercice Soit n un entier positif Montrer qu'une condition nécessaire pour qu'il existe un code linéaire binaire parfait -correcteur de longueur n est que l'entier n soit de la forme n r ?? o? r est un entier positif Exercice Soit C un code linéaire binaire Montrer que si C est de longueur et de dimension il ne corrige pas plus d'une erreur Montrer que si C est de longueur et de distance minimum alors C ? Exercice Soit C le code linéaire sur F de matrice génératrice G Montrer que C est systématique et en donner une matrice génératrice normalisée G Encoder le message avec G puis avec G Construire une matrice de contrôle de C et calculer sa distance minimale Le code est-il MDS Maximum Distance Separable On reçoit le message codé par G Quel est le message d'origine Le mot est-il un mot de code Le décoder sachant qu'il a été encodé par G Exercice Soit C le code linéaire sur F de matrice génératrice G Donner le nombre de mots de C Le code est-il systématique Déterminer une matrice de contrôle de C Calculer la capacité de correction t de C Le code est-il MDS Donner la table de contrôle contenant tous les vecteurs erreurs possibles de poids ? t Décoder quand c'est possible les mots et Exercice Soit C le code de Hamming binaire de longueur Déterminer une matrice génératrice normalisée de C à l'aide de la méthode du pivot de Gauss En déduire une matrice de contrôle de C Décoder quand c'est possible les mots et C LM Exercice Soit C le code linéaire ternaire de matrice génératrice F EB F F G F EC F EC F ED F F F F F F Montrer que C est systématique en donner une matrice de contrôle Quelle est sa distance minimale Exercice Soit C le code sur F de matrice génératrice G avec G G Montrer que G est une matrice normalisée génératrice du même code C En déduire une matrice de contrôle Quelle est la capacité de correction de C Décoder les mots et Exercice Soit C le code binaire linéaire de matrice génératrice F EB F F F ED F F G Le code est-il systématique Déterminer une matrice de contrôle et la capacité de correction de C Le code est-il MDS Décoder si possible les mots et Exercice Soit C le code binaire linéaire de matrice génératrice F EB F F F ED F F G Montrer que ce code est systématique Pourquoi Déterminer