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Fon fam integ amsud nov 2006

Pour tout entier naturel n non nul on considère la fonction fn dé ?nie sur ? par fn x ln x x n ?? a Déterminer les limites de fn en et en ? puis étudier le sens de variations de fn b Montrer que l ? équation fn x admet une unique solution dans ? On note n cette solution Montrer qu ? elle appartient à l ? intervalle e c Etudier le signe de fn x sur ? Le plan est F E F E rapporté à un repère orthonormal O i ? j ? On note ? la courbe représentative de la fonction logarithme népérien a Soit n un entier naturel non nul Déterminer une équation de la droite ? n passant par le point A de coordonnées et le point Bn de coordonnées n b Faire un croquis représentant la courbe ? et les droites ? ? et ? c Montrer que n est l ? abscisse du point d ? intersection de ? avec ? n d Préciser la valeur de puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite n a Exprimer ln n en fonction de n et de n b Exprimer fn n en fonction de n et de n et véri ?er que fn n c Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite n d Montrer que la suite n converge On note alors sa limite Etablir que ln et en déduire la valeur de On désigne par D n le domaine délimité par la courbe ? l ? axe des abscisses et les droites d ? équation x n et x e a Calculer l ? aire du domaine D n en fonction de n et montrer que cette aire est égaie à n n b Etablir que e ?? n ln n ? n n ? e ?? n c En déduire un encadrement de n e ?? n d La suite de terme général n e ?? n est-elle convergente Ce résultat permet-il d ? apprécier la rapidité de la convergence de la suite n CORRECTION C Pour tout entier naturel n non nul on considère la fonction fn dé ?nie sur ? par fn x ln x x n ?? a Déterminer les limites de fn en et en ? puis étudier le sens de variations de fn lim ln x x ? ? ? et lim x ? ? x n ?? ? donc x lim ? ? fn x ? lim x ? ln x ?? ? et lim x ? x n donc lim x ? fn x ?? ? fn est dérivable sur IR et fn' x x n pour tout réel x et pour tout entier naturel n La fonction fn est donc croissante sur ? b Montrer que l ? équation gn x admet une unique solution dans ? On note n cette solution Montrer qu ? elle appartient à l ? intervalle