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Metropole s 20 juin 2016 A P M E P Baccalauréat S Métropole ??La Réunion juin EXERCICE Commun à tous les candidats POINTS Partie A Une usine fabrique un composant électronique Deux cha? nes de fabrication sont utilisées La cha? ne A produit des composants

A P M E P Baccalauréat S Métropole ??La Réunion juin EXERCICE Commun à tous les candidats POINTS Partie A Une usine fabrique un composant électronique Deux cha? nes de fabrication sont utilisées La cha? ne A produit des composants et la cha? ne B produit le reste Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur En sortie de cha? ne A des composants présentent ce défaut alors qu ? en sortie de cha? ne B ils ne sont que On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine On note A l ? évènement le composant provient de la cha? ne A ? B l ? évènement le composant provient de la cha? ne B ? S l ? évènement le composant est sans défaut ? Montrer que la probabilité de l ? évènement S est P S Sachant que le composant ne présente pas de défaut déterminer la probabilité qu ? il provienne de la cha? ne A On donnera le résultat à ?? près Partie B Des améliorations apportées à la cha? ne A ont eu pour e ?et d ? augmenter la proportion p de composants sans défaut A ?n d ? estimer cette proportion on prélève au hasard un échantillon de composants parmi ceux fabriqués par la cha? ne A Dans cet échantillon la fréquence observée de composants sans défaut est de Déterminer un intervalle de con ?ance de la proportion p au niveau de con ?ance de Quelle devrait être la taille minimum de l ? échantillon pour qu ? un tel intervalle de con ?ance ait une amplitude maximum de Partie C La durée de vie en années d ? un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre ? o? ? est un nombre réel strictement positif On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T On rappelle que ?? pour tout nombre réel x ?? pour tout nombre réel a f x ?e ?? ?x a P T a f x dx La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous CBaccalauréat S y C A P M E P a x a Interpréter graphiquement P T a o? a b Montrer que pour tout nombre réel t P T t ?? e ?? ?t c En déduire que lim P T t t ? ? On suppose que P T Déterminer ? à ?? près Dans cette question on prend ? et on arrondit les résultats des probabilités au cen- tième a On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins ans b On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de ans Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à ans c Donner l ? espérance mathématique E T de la