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Article PanaMaths ? Le théorème de Céva Introduction Le théorème de Céva qu ? il publie en est un beau théorème très pratique pour établir de nombreux résultat de concours dans le triangle Giovanni Céva Milan ?? Mantoue était un mathématicien et scienti ?que italien qui s ? est principalement intéressé à la géométrie mais qui a également e ?ectué des travaux en hydraulique et dans le domaine des mathématique appliquées à l ? économie Après avoir brièvement enseigné à Pise il obtient en un poste de professeur de Mathématiques à l ? université de Mantoue o? il demeurera jusqu ? à sa mort Les notions abordées dans ce document sont des notions de géométrie vues dans les classes du secondaire théorème de Thalès cercle circonscrit cercle inscrit et barycentre Seule la notion de mesure algébrique ? sera peut-être nouvelle pour certains élèves Le théorème de Céva Soit ABC un triangle Soit A ' B ' et C' trois points appartenant respectivement aux droites BC AC et AB et di ?érents des sommets du triangle On a AA ' BB' et CC ' parallèles ou concourantes ?? AB ' ? BC ' ? CA ' ?? AC ' BA ' CB ' Remarque l ? égalité AB' ? BC ' ? CA ' ?? peut également être mémorisée sous la forme AC ' BA ' CB ' équivalente suivante A C ' ? B A ' ? C B' C' B A' C B' A PanaMaths - Mai Cwww panamaths net Le théorème de Céva Démonstration ?? Nous commençons par traiter le cas o? les droites AA ' BB' et CC ' sont parallèles voir ?gure ci-dessous C' A' B A B' C Le parallélisme nous permet d ? utiliser le théorème de Thalès On obtient immédiatement en considérant ? Le point A et les droites AB et AB' C ' B CB ' soit BC ' CB' C 'A CA AC ' CA ? Le point C et les droites CB et CB' A ' B AB' soit CA ' AC A 'C AC BA ' AB' En multipliant membre à membre ces deux égalités il vient BC ' ? CA ' CB ' ? AC ?? CB ' AC ' BA ' CA AB ' AB ' PanaMaths - Août Cwww panamaths net Le théorème de Céva On en déduit alors BC ' ? CA ' ? AB ' ?? On a bien obtenu l ? égalité cherchée AC ' BA ' CB ' Nous nous intéressons maintenant au cas o? les droites AA ' BB' et CC ' sont concourantes et nous notons I leur point d ? intersection voir ?gure ci- dessous I A' C' B A B' C Dans un premier temps établissons que le point I ne peut appartenir à aucune des droites AB BC et AC Supposons par exemple que le point I appartienne à la droite AB Dans ce cas les droites AB et AA ' seraient confondues Mais comme le point