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Td controle continu 3 elements de correction 3 0 2 3 q 4

Université Pierre et Marie Curie Période L LM Processus et Simulations TD Contrôle continu éléments de correction Exercice Considérons la matrice stochastique suivante F EB F EC F EC Q F EC F EC F EC F EC F ED F F F F F F F F F F F F F F F F et on désigne par Xn n ??N la cha? ne de Markov de matrice de transition Q Précisez l ? espace des états E Identi ?ez les classes d ? états de la cha? ne Xn et justi ?ez pour chacune s ? il s ? agit d ? une classe fermée ou non-fermée Lesquelles sont récurrentes La cha? ne est-elle irréductible Prouvez qu ? il existe une probabilité stationnaire que l ? on notera ? Est-elle unique Calculez ? En déduire à l ? aide d ? un résultat du cours dont on justi ?era l ? utilisation le temps moyen de retour à l ? état i pour tout i ?? E Supposons que la loi initiale de Xn soit également ? En justi ?ant soigneusement votre réponse calculez P X Corrigé L ? espace des états est E c ? est l ? unique classe évidemment fermée et récurrente car E ? car tous les états communiquent entre eux on peut remarquer que tous les états communiquent avec qui communique en retour avec tous les états La cha? ne est donc irréductible Comme E ? la cha? ne admet au moins une probabilité invariante cf cours Elle est unique car la cha? ne est irréductible Il faut ici écrire le système d ? équations ? ?Q et le résoudre sans se tromper On doit trouver en se souvenant que i ??E ? i ? Par un théorème du cours le temps moyen de retour en i ?? E noté Ei Ti est alors donné par la formule Ei Ti ? i ?? Par un théorème du cours si la loi initiale et la loi stationnaire d ? une cha? ne de Markov co? ncident alors pour tout n ?? N et tout i ?? E on a P Xn i ? i Exercice Considérons la matrice suivante F EB F F p q F EC F F p q F EC F EC p q F F F F F EC F EC p q F F F F F EC Q F EC F EC F EC q p q q p F F F F F F F F F EC F EC q p F F F F F EC F EC q p F F F F F EC F ED q p F F F F qp o? p Quelles conditions doivent véri ?er p et q pour que Q soit stochastique On désignera dans la suite par Xn n ??N la cha? ne de Markov de matrice de transition Q Précisez l ? espace des états E Identi ?ez les classes d ? états de