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Chapitre1 rappels statistiques

Rappels statistiques et introduction - introduction Variable aléatoire v a variable dont les résultats possibles sont connus mais dont le résultat ?nal ne peut être déterminé à priori avant d'e ?ectuer la mesure ex - teneur de cuivre d'une carotte de m - épaisseur d'une veine minéralisée - concentration d'un polluant dans l'eau souterraine - pH de l'eau de pluie Description d'une v a sans conna? tre la valeur que prendra le résultat ?nal on peut parfois conna? tre la probabilité qu'une v a prenne chacun des résultats possibles C'est la description la plus complète que l'on puisse faire de la v a La fonction qui décrit ces probabilités est la fonction de densité pour les v a continues pour les v a discrètes c ? est la fonction de masse Propriétés fX x toute probabilité est positive ? ? - ? f X x dx l ? intégrale de la fonction de densité donne ? b a f X x dx P a ? X ? b probabilité que x prenne une valeur comprise entre a et b Certaines quantités résument les caractéristiques principales de la variable aléatoire Mesures de tendance centrale - mode x tel que fx x est maximum - médiane x tel que P X x - moyenne ou espérance mathématique X ou E X ? - ? ? x f X x dx Mesures de dispersion -Variance ? X E X - E X ? X ? ? - ? x - E X f X x dx -Écart-type ?X ? X -Asymétrie E F EE F EF F EF F F F EB F EC F ED X - E X F F F F ? F F X F F F FA F FA F FB C - introduction -Aplatissement E F EE F EF F EB F EC X - E X F F F F F F F FA F EF F F F ED ?X F F F FA F FB Toutes ces quantités sont généralement à priori inconnues On doit donc les estimer à partir d'un ensemble d'observations appelé l'échantillon par abus de langage on parlera souvent des échantillons pour désigner ces observations À partir de l'échantillon on peut construire des estimateurs de la moyenne de la variance n ? in xi x n ? in xi - x ? ou n- ? in xi - x s de la fonction de densité histogramme de la fonction de densité cumulative courbe des fréquences cumulées F x x P X ? x estimée par rang xi n Une des caractéristiques importantes d'un estimateur est d'être sans biais i e d'avoir la même espérance mathématique que la quantité qu'il cherche à évaluer Ex E X E n ? in X i X ?? X est sans biais pour X de même s est sans biais pour ? x alors que ? est biaisé C - introduction Passage à plus d'une variable On peut aussi étudier et décrire le comportement simultané de