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Cnam calcul scientifique a1 resolution des fonctions

RÉSOLUTION DES FONCTIONS f x I Existence et localisation des racines Théorème des valeurs intermédiaires Soit la fonction f continue sur a b Si f a ? f b sur l'intervalle d'étude telle que f c a alors il existe au moins une valeur c c b Si f est monotone sur a b alors la racine c est unique Exemple f x x x sur f et f donc il existe au moins une racine sur f ' x x ? f ' x donc c est unique Localisation des racines Il existe principalement deux méthodes la méthode mathématique et la méthode numérique a Méthode mathématique x a b fx On aura racines a a b b b Méthode numérique Algorithme de localisation x x x xN a ah a h b On calculeras f xi ? f xi pour i variant de à N Cc Organigramme Début a b N h b N a x a c y f x c c y y x x h OUI xb NON C y f x NON y ? y OUI Fin Méthode de dichotomie a c ab b f a ? f b On calcule f ab Si f a ? f ab c a a b sinon c a b b Puis on recommence l'opération avec l'intervalle déterminé CII Méthode par itération de point ?xe Équation de point ?xe a Dé ?nition Soit f x et x g x on pourra utiliser par exemple que x x- f x b Interprétation géométrique gx y x s fx c Application contractante On dit que la fonction g est contractante sur a b s'il existe k tel que g x g x k x x x a b k g' x k C'est à dire que pour tout x dans l'intervalle considéré la variation d'ordonnées n'excède pas la variation d'abscisse Si une fonction est contractante sur un intervalle donné alors elle est aussi continue dérivable donc g ' x Itération de point ?xe On utilisera pour cette méthode une suite récurrente xN construite à partir de x la valeur initiale x donné xN g xN s lim xN n Théorème de convergence a Théorème Soit la fonction g dé ?nie sur a b Soit les deux hypothèses -Contraction g est contractante sur a b -Inclusion x a b g x a b Si ces deux hypothèses sont véri ?ées l'itération x donné xN g xN converge vers la solution s Cb Utilisation pratique On estimera g' s pour éliminer les fonctions g divergentes c'est à dire les fonctions telles que g ' x Si ce cas appara? t il faudra redé ?nir g x Exemples x e x log x x x sin x x arcsin x c Représentation graphique des itérations ? Convergence monotone x s ? Convergence alternée s x ? Divergence monotone g' s g' s s x g' s C ? Divergence alternée g' s s x d Exemple d'étude Résolvons x ln x Df lim