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Corrigetd1 Analyse Corrig ?e de la ?che de TD Damerdji Bouharis A Universit ?e des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf Facult ?e des Math ?ematiques et Informatique janvier C Ch Damerdji Bouharis A USTO MB CTable des mati eres Enonc ?es des exer

Analyse Corrig ?e de la ?che de TD Damerdji Bouharis A Universit ?e des Sciences et de la Technologie Mohamed Boudiaf Facult ?e des Math ?ematiques et Informatique janvier C Ch Damerdji Bouharis A USTO MB CTable des mati eres Enonc ?es des exercices Corrig ?es Enonc ?es des exercices Exercice Montrer les in ?egalit ?es suivantes a x y ? x y x ?? y ??x y ?? R b ?? x y ?? ?? ? x y ??x y ?? R c ?? x ?? ??y ? x ?? y ??x y ?? R Soit x la partie enti ere de x montrer que ??x y ?? R a x ? y ?? x ? y b x y ? x y ? x y Exercice Montrer que a la somme d ? un nombre rationnel et d ? un nombre irrationnel est un nombre irrationnel ?? b ?? Q c ?? Q ?? ?? Soit a ?? ? simpli ?er x a a ?? a ?? a ?? Calculer n a A Cnk k n b B k k tel que n ?? N ? Exercice On consid ere l ? ensemble E ? R muni de l ? ordre usuel et A une partie de E d ?eterminer pour chacun des ensembles suivants l ? ensemble des majorants M aj A l ? ensemble des minorants M in A la borne sup ?erieure Sup A la borne inf ?erieure Inf A le plus petit ?el ?ement min A et le plus grand ?el ?ement max A C Table des mati eres Ch A ?? ?? ?? ?? telque E R A x ?? R x E R A ?? n n ?? N ? E R Exercice Soit A une partie non vide et born ?ee de R On note B x ?? y x y ?? A Justi ?er que B est major ?ee On note sup B la borne sup ?erieure de l ? ensemble B montrer que sup B sup A ?? inf A Exercice On note par PB R l ? ensemble des parties born ?ees de R montrer que ??A B ?? PB R a sup A ?? B max sup A sup B b inf A ?? B min inf A inf B Si A ?? B ? alors a sup A ?? B ? min sup A sup B b inf A ?? B ? max inf A inf B sup A B sup A sup B inf A B inf A inf B ou A B x y x ?? A et y ?? B a sup ??A ?? inf A b inf ??A ?? sup A tel que ??A ??x x ?? A Exercice En utilisant la caract ?erisation de la borne sup ?erieure et la borne inf ?erieure montrer que sup A inf A pour A n n n ??N sup B inf B pour B n n n ?? N ? sup C inf C