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Devoir 3 gr Abdelilah Ammar Module Géométrie riemannienne II Devoir Master Géométrie Analyse et Applications Solution Soit M g une variété riemannienne et ?? sa connexion de Levi- Civita Une structure hermitienne sur M g est un champ d'endomorphismes J T

Abdelilah Ammar Module Géométrie riemannienne II Devoir Master Géométrie Analyse et Applications Solution Soit M g une variété riemannienne et ?? sa connexion de Levi- Civita Une structure hermitienne sur M g est un champ d'endomorphismes J T M ?? ? T M qui satisfait J ??IdT M pour tout x ?? M J TxM ?? ? TxM est une endomorphisme et pour tout u v ?? TxM g Ju Jv g u v Pour C tout champ de vecteur X JX est un champ de vecteur dé ni par JX x J X C x La dérivée de J est dé nie par ??XJ Y ??X JY ?? J ??XY le tenseur de Ni-jenhuis de J est donnée par NJ X Y JX JY ?? J X JY ?? J JX Y ?? X Y et la forme fondamentale de J est donnée par ? X Y g JX Y On dira que la structure hermitienne M g J est Kahlérienne si ??XJ Y pour tout X Y ?? X M On suppose que M g J est hermitienne a Montrer que NJ et ??J sont C ? M ??linéaire i Pour NJ Soit f ?? C ? M on a NJ f X Y Jf X JY ?? J f X JY ?? J Jf X Y ?? f X Y Jf X JY ?? JY Jf X ?? Jf X JY JJY f X ?? JJf X Y JY Jf X ?? f X Y Y f X f Y X f JX JY ?? J Y f JX ?? f JY JX ?? f JX JY JJ Y f X f JJY X ?? f JJX Y J Y f JX f JY JX ?? f X Y Y f X f JX JY ?? f J X JY ?? f J JX Y ?? f X Y ??J Y f JX JJ Y f X J Y f JX Y f X en utilisant le fait que M g J est hermitienne J ??IdT M on obtient que NJ f X Y f NJ X Y C et on a NJ X f Y JX Jf Y ?? J X Jf Y ?? J JX f Y ?? X f Y JX Jf Y ?? Jf Y JX ?? JX Jf Y JJf Y X ?? JJX f Y Jf Y JX ?? X f Y ?? f X Y f Y X J X f JY f JX JY ?? f JY JX ?? J X f JY ??f JX JY f JJY X ?? JJ X f Y ?? f JJX Y f JY JX ?? X f Y ?? f X Y f JX JY ?? f J X JY ?? f J JX Y ?? f X Y J X f JY ?? J X f JY ?? JJ X f Y ??JJ X f Y f NJ X Y D'o? NJ est C ? M ??linéaire ii Pour ??J soit