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Devoir commun math 6 lycee jacques prevert

Lycée Prévert Devoir commun de Mathématiques du troisième trimestre Premières S Durée heures Calculatrice autorisée Toute réponse doit être justi ?ée La rédaction et la présentation du devoir seront prises en compte EXERCICE Fonctions Recherche d'un maximum points Partie A Restitution organisée de connaissances On rappelle la proposition suivante Proposition Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors la fonction u? v est dérivable sur I ? Donnez la formule de dérivation d'un produit en recopiant et complétant u x ? v x ' Soit la fonction f dé ?nie sur ? par f x x ?? x a En utilisant la proposition et la question montrez que f est dérivable sur ? et calculez f ' x en détaillant tous vos calculs b Étudiez la dérivabilité à droite en zéro de la fonction f Aide On rappelle la condition de dérivabilité en zéro Si la limite du taux d'accroissement f h ?? f h quand h tend vers zéro h existe alors la fonction f est dérivable en zéro à droite et lim h ? f h ?? h f f ' ? Énoncez la proposition réciproque de la proposition et prouvez que cette réciproque est fausse en fournissant un contre-exemple Partie B Étude d'une fonction Soit g la fonction dé ?nie sur par g x ?? x ?? x et Cg sa représentation graphique dans un repère du plan Montrez en détaillant les calculs que g ' x ?? ??xx En déduire les variations de la fonction g et son maximum sur Déterminez une équation de la tangente à Cg au point d'abscisse Partie C Application à un problème de géométrie On considère le demi-cercle C de diamètre AB tel que AB H est un point du segment AB distinct de A et de B On note x la longueur AH La perpendiculaire en H à AB coupe C en E D est le pied de la hauteur issue de H dans le triangle EHB L'objectif de cette partie est de déterminer la position de H sur le segment AB pour laquelle la longueur HD est maximale On note HD h x Quelle est la nature du triangle AEB Prouvez que AE ?? x en exprimant cos BAE dans deux triangles rectangles di ?érents Prouvez que h x ?? ?? x ?? x en utilisant sin ABE dans deux triangles rectangles di ?érents A l'aide de la partie B répondre à l'objectif Page sur CEXERCICE Probabilités Loi binomiale points Une entreprise fabrique des cartes à puce Chaque puce peut présenter deux défauts a et b On prélève au hasard une puce dans la production de la journée Une étude a permis de montrer que la probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait le défaut a est la probabilité qu'elle ait le défaut b est la probabilité qu'elle ait les deux défauts est Une puce est défectueuse dès qu'elle a au moins un défaut Montrez que la probabilité p que la puce soit défectueuse