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Ds 5 sup Devoir surveillé n ? Durée H Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation de la copie Exercice Soit P le polynôme réel dé ?ni par P ? X ? ? X ? X ?? X ? X ? a Factoriser P ? X ? en facteurs irréductibles dans ? ? X ?? On remarquera q

Devoir surveillé n ? Durée H Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation de la copie Exercice Soit P le polynôme réel dé ?ni par P ? X ? ? X ? X ?? X ? X ? a Factoriser P ? X ? en facteurs irréductibles dans ? ? X ?? On remarquera que P est symétrique et on posera Y b En déduire le signe de P ? x ? pour tout réel x ? X ? X Soit f la fonction réelle dé ?nie par f ? x ? ? x exp ? x ??x ? a Étudier le comportemment de f au voisinage de et de ?? On étudiera les limites à gauche à droite prolongement par contonuité tangentes asymptotes b Former le développement limité de f au voisinage de à l ? ordre et en déduire la position de la courbe de f par rapport à sa tangente en c Étudier les branches in ?nies de f ? x ? quand x ? ? ? On trouvera l ? asymptote et les positions par rapport à cet asymptote Calculer f ?? ? x ? pour x ?? ? ?? ?? ? et dresser le tableau de variations complet de f Construire soigneusement l ? allure de la courbe de f Exercice Soit f la fonction réelle dé ?nie sur ? par f ? x ? ? x ? x ? Étudier les variations de f domaine de dé ?nition dérivabilité et tableau de variations Étudier les branches in ?nies de f Construire soigneusement l ? allure de la courbe de f Justi ?er que f est une bijection de ? sur ? ? ? Soit y ?? ? ? ? en considérant y exprimer f ?? ? y ? Soit g la fonction réelle dé ?nie sur ? par g ? t ? ? sh ? t ? a Simpli ?er f ? g ? t ? b Retrouver le faite que f est une bijection de ? sur ? ? ? c Que peut-on dire de l ? application h dé ?nie sur ? par ??x ?? ? h ? x ? ? ln ? f ? x ? ? Trouver la primitive de f qui s ? annule en Problème Pour tout entier naturel non nul n on considère la fonction fn de la variable réelle dé ?nie sur ? ?? ?? par fn ? x ? ? sin ? n arcsin ? x ? ? Première partie Étudier la parité de fn calculer fn ? ? et fn ? ? C Résoudre dans ? ?? l ? équation fn ? x ? ? a Démontrer que fn est continue sur ? ?? ?? dérivable sur ?? ?? ? et calculer fn ?? ? x ? pour ?? ?? x ?? b Étudier la limite de fn ? x ? x ?? quand x tend vers par valeurs inférieures fn est-elle dérivable à gauche en à droite en ??