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Feuille FVG calcul di ? ?erentiel Edg Soit U un ouvert de R resp R une application num ?erique f d ?e ?nie dans U est dite harmonique si et seulement si ? f ou ? f ? f ? f ? f ? f ? f ? x ? y resp ? x ? y ? z est le laplacien de f a Pour x y ?? R et z x iy montrer que f est harmonique lorsque f est d ?e ?nie par f x y ln eze ??z b Montrer que si f est harmonique et de classe C ? f ? f ? f alors et y ?? x sont harmoniques ? x ? x ? y c V ?eri ?er que y z x f x y z arctan arctan arctan x y z est harmonique sur R ? Edg E ?tudier la continuit ?e l ? existence et la continuit ?e des d ?eriv ?ees partielles pour les fonctions f suivantes F F F F x y sin x y si x y F F si x y F F F F x ?? y x y si x y F F si x y F F F F F F e x y ?? si x y F F F F si x y ? x si x y si x ? y Edg Montrer que f Mn R ? Mn R telle que f X X admet des d ?eriv ?ees dans toutes les direc- tions Calculer DU f X M eme question avec la fonction det de Mn R dans R On trouvera DU det M tr tCom M U Edg Soit f ?? C R et g de R dans R d ?e ?nie par F F f x ?? f y F F si g x y x ??y F F f x si x y x y montrer que g ?? C R Edg Prouver l ? existence et comparer les d ?eriv ?ees partielles ? f ? x ? y ? f ? y ? x pour la fonction f d ?e ?nie dans R par F F xy x ?? y F F x y si x y F F si x y Edg D ?eterminer les extr ?ema locaux des applications suivantes R R ? x xy y x y x y sin x sin y cos x y Edg Soit a trouver le minimum de f d ?e ?nie de R dans R par f x y ?? a y x ?? a Edg Soit f une fonction homog ene de degr ?e k et C dans le plan Cela se traduit par f hO ? ?kf ouhO ? d ?esigne l ? homoth ?etie de centre O et de rapport ? ? a En appliquant l ? op ?erateur sur cette relation ? x ? f ? f montrer que et sont homogenes de degr ?e ? x ? y k ?? b