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Devoir 31 12 2020 Université Moulay Ismail Faculté des Sciences Département de Mathématiques Année universitaire - Filières SMIA Analyse S Devoir Exercice On dit qu'une partie A de R est dense dans R si pour tout x ?? R il existe une suite an d'éléments d

Université Moulay Ismail Faculté des Sciences Département de Mathématiques Année universitaire - Filières SMIA Analyse S Devoir Exercice On dit qu'une partie A de R est dense dans R si pour tout x ?? R il existe une suite an d'éléments de A telle que lim an x n ? ? Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes A est dense dans R Pour tous x y ?? R x y ??a ?? A tel que x a y Pour tout intervalle ouvert non-vide I de R I ?? A ? Exercice Soit x un nombre réel et soit n ?? N Montrer qu'il existe un unique nombre décimal xn pn n tel que xn ? x xn n Le nombre par défaut xn resp resp par xenx cè s n est de x appelé la valeur décimale approchée Indication pn E nx à ??n près Montrer que la suite xn n ??N est croissante Montrer que la suite xn n n ??N est décroissante Déduire que les suites xn n ??N et xn n n ??N sont adjacentes et que lim xn n ? ? x Déduire dans R que l'ensemble des nombres décimaux D m n m ?? Z n ?? N est dense Facultative On écrit x a a a an le développement décimal de x o? a ?? Z et a an ?? Montrer que x ?? Q si et seulement si son développement décimal est périodique à partir d'un certain rang Exercice Soit A une partie non vide majorée de R et soit M un majorant de A Pour n ?? N on considère l'ensemble Dn E na n a ?? A Montrer que M est un majorant de Dn On considère l'ensemble An E na a ?? A a Montrer que An est une partie majorée de Z b Montrer que An possède un plus grand élément Déduire que Dn possède un plus grand élément dn Montrer que dn n ? est une suite croissante remarquer que E nx ? E n x pour tout x ?? R C Montrer que dn dn ??n par l'absurde Soit vn n ? la C suite dé nie par vn dn ??n a Déduire que vn n ? est une suite décroissante remarquer que E n x ? E nx pour tout x ?? R b Montrer que les suites dn n ? et vn n ? sont adjacentes Déduire que la suite dn n ? est convergente Soit d la limite de la suite dn n ? a Montrer que d est un majorant de A par l'absurde remarquons que si x d alors il existe n ?? N tel que ??n x ?? d b Montrer que d sup A C