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Exercices corriges transformee de fourier 1

UFC - Acquisition et Traitement du Signal - Licence TD Transformée de Fourier Eléments de CORRIGE Dans tout le TD on notera Rect t F F F F F F si t ?? ?? sinon et par extension pour un rectangle centré sur t centre de hauteur A et d ? une largeur donnée par largeur on utilisera la notation A Rect t ?? centre largeur De même A Tri t ?? centre désignera une fonction triangle de hauteur A et de base largeur largeur centrée autour de centre Exercice Soit le signal s t A Rect t T Obtenir la transformée de Fourier S f de ce signal à partir de la dé ?nition de cette transformée Solution On considère s comme la di ?érence entre deux signaux échelons s t A u t T - u t-T ? ? dé ?nition de la TF S f s t e ?? j ?tdt ou directement de ?? To à To simple ?? ? ? ? ? ? d'o? S f A e ?? j ?t dt ?? A e ?? j ?tdt A j ?T e ?? j ?T ??e A sin ?T ??T T j ? ? et S f AT sin ?fT ?fT AT sinc ?fT On considère que s t est un signal électrique d'amplitude A V et de durée T s Etudier S f quelle est sa valeur maximale l'amplitude des lobes secondaires pour quelles fréquences S f s'annule-t-elle Solution CLe sinus cardinal sin x x prend la valeur max pour x par limite s'annule pour sin x d'o? x k ? avec k di ?érent de et est max pour tg x x par dérivée d'o? x tendant vers k ? La première valeur nulle de S f est en f Le premier lobe secondaire a pour amplitude environ les suivants de l'amplitude du lobe principal soit ici Vs Quelle est la largeur utile du spectre S f c'est à dire la largeur au delà de laquelle l'amplitude de S f est solution le sinus cardinal au carré présente une amplitude au ème lobe de la largeur utile est donc d'environ Hz Quelle est la surface limitée par le carré du spectre En quelle unité s'exprime-t-elle solution On utilise le théorème de Parseval ? ? ? ? S f df s t dt A t T ??T A T x V s ?? ? ?? ? C'est l'énergie dissipée dans une résistance de pendant s Exercice Soit s t F F F F Ae j ? t si t ?? ?? T T F F sinon avec ? ? T Calculer la transformée de Fourier S f de s t solution On remarque que s t e ?jf t F ECF EDF ECF EB Arect t T F F F F F F F F La table donne TF e j ?f t f t F f-f Donc S f AT sin x x ?? x ?? x avec x ?T f et x