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ECRICOME S Éléments de correction ECS ?? Lycée La Bruyère Versailles version du dimanche juillet Premier exercice On supposera que n sans quoi l ? endomorphisme est nul a Tout d ? abord est linéaire de Rn X dans R X par linéarité de la dérivation Puis pour P ?? Rn X deg P deg P ?? deg P et deg XP deg P deg P donc deg P deg P et P appartient à Rn X Ainsi et un endomorphisme de Rn X b On calcule X ?? X et ??j ?? n Xj j j ?? Xj ?? ?? jXj d ? o? la matrice représentative de en base canonique F EB F F F ECF EC ?? F F F F F EC A F ECF EC F EC F EC F EC ?? ?? F F F F F F F F ?? Mn R F F F F n n ?? F EC F EC F ED F F F F F F ?? n de coe cient générique en numérotant les lignes et colonnes de à n F F F F F F ?? j si i j ai j j j ?? si i j ?? i j n sinon c La matrice A étant triangulaire ses valeurs propres sont ses coe cients diagonaux ?? ?? ?? n L ? endomorphisme admet donc comme sa matrice A n dim Rn X valeurs propres deux-à-deux distinctes c ? est donc un endomorphisme diagonalisable de Rn X a Soient P et Q deux éléments non nuls de Rn X de degrés p et q et de coe cients dominants ap et bq La fonction f t ?? ? P t Q t e ??t est continue sur ?? ? ? avec t P t Q t e ??t ?? apbqtp q e ??t ? t ? ? pl ? ainrtcérgoriaslsea ?n ??c ? e ? s comparées Ainsi f t o t lorsque f t dt par comparaison aux intégrales t ? ? d ? o? l ? on déduit de Riemann convergentes ?la ?? ?? ? c ontd tveetrg ?e n ? ce de dt t b L ? application est bilinéaire par linéarité de l ? intégrale généralisée convergente et symétrique De plus pour P ?? Rn X ? P P P t e ??t dt ?? ? o? la fonction t ?? ? P t e ??t est continue et positive On a donc égalité ci- dessus si et seulement si P t e ??t pour tout t ?? R ce qui fait une in nité de racines pour P et équivaut donc à la nullité de ce polynôme Toutes les conditions sont donc réunies pour faire de un produit scalaire sur Rn X fr Pour P Q ?? Rn X donnés une intégration par parties sur a b ? R donne b b d P t Q t e ??t dt e ??t P t ?? te ??t P t Q