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Epreuve2 math lycee EPREUVE DE SPÉCIALITÉ SECONDAIRE QUALIFIANT Problème On considère l'équation di ?érentielle suivante E y - - Y - x x o? y est dé ?nie sur l'intervalle l Partie I rt J CA If - Donner les solutions de l'équation homogène associée à E e S

EPREUVE DE SPÉCIALITÉ SECONDAIRE QUALIFIANT Problème On considère l'équation di ?érentielle suivante E y - - Y - x x o? y est dé ?nie sur l'intervalle l Partie I rt J CA If - Donner les solutions de l'équation homogène associée à E e Soit U la fonction dé ?nie sur l par u x v x o? v est une fonction dérivable sur J a Déterminer v pour que U soit une solution particulière de l'équation E Dl b Montrer que toute solution de E s'écrit sous la forme y x ri ae -l o? o est un nombre réél c Montrer que parmi ces solutions il existe une et une seule qui est prolongeable par continuité en zéro Partie II l-pb Soit la fonction f dé ?nie sur IR par f x ex SI f O r J Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé L a Montrer que le développement limité de f au voisinage de zéro à l'ordre est f x x X o x t'If tDt b En déduire que f est dérivable en puis écrire l'équation de la tangente à la courbe Cf cu point d'abscisse O Otf I a Calculer lim f x et lim f x X-t-OO X-t CXl Cp b Etudier les branches in ?nies de Cf ? O ftOI G l - LMontrer que f est dérivable sur IR et que pour tout x de IR on a f' x dé ?nie sur IR à préciser Etablir que Vx E IR x - l eX O En déduire les variations de f sur IR Montrer que la fonction f est convexe puis tracer C g o? est une onc-tion Partie III p - Soit un n la suite numérique dé ?nie par Ua Un l f un - nE N J est la fonction dé ?nie à la partieJl o a Véri ?er que Ul Ua b Montrer que Vn EN Un l Un En déduire que Un n l est une suite convergente puis calculer sa limite L Montrer que L page CEPREUVE DE SPÉCIALITÉ SECONDAIRE QUALIFIANT p J a Etablir que L ou bien é L L Donner alors la valeur de L - pt Montrer que Ix E O e - x X O Quelle est la valeur de L' Partie IV p r Soit F la fonction t F x f t dt F O ln a En appliquant le théorème des accroissements a Montrer que f t -l J' t b En déduire que Ix F x -ln S f x Pour tout x montrer que si x ?nis à la fonction J sur l'intervalle O LL t O J x puis que F est continue en zéro R droite' f x ln S F x S f x ln -- En déduire lim F x et lim F x x-t oo x-t oo X ? a Montrer que F est dérivable sur R et Ix F' x f x