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Exercices corriges 1 Universit ?e de Poitiers Guilhem Coq Ann ?ee - Exercices corrig ?es L L th ?eorie de la mesure TD fonctions mesurables propri ?et ?es des mesures Exercice Soit f E T ? R B R une application mesurable et k On d ?e ?nit fk par f x si f

Universit ?e de Poitiers Guilhem Coq Ann ?ee - Exercices corrig ?es L L th ?eorie de la mesure TD fonctions mesurables propri ?et ?es des mesures Exercice Soit f E T ? R B R une application mesurable et k On d ?e ?nit fk par f x si f x ? k fk x k si f x k ??k si f x ??k Faire un sch ?ema Montrer que fk est ?egalement T B R mesurable Exercice Soit E T un espace mesurable Montrer que A ?? T ? ?? A est T B R mesurable On suppose que T P E Exhiber une application f E ? R non T B R -mesurable et telle que f soit T B R -mesurable On pourra essayer de faire en sorte que f E Exercice Soit E T un espace mesur ?e et An n ??N une suite d ? ?el ?ements de T On suppose que pour tout n An ? An Montrer que An lim n ? ? An n ??N On suppose que pour tout n An ? An et que A ? Montrer que An lim n ? ? An n ??N Ce r ?esultat reste-t-il vrai sans l ? hypoth ese A ? Dans l ? espace mesur ?e R B R ? montrer que ? a pour tout a ?? R En d ?eduire que ? N ? Z ? Q Exercice Lemme de Borel-Cantelli Soit E T un espace mesur ?e An n ??N une suite d ? ?el ?ements de T tels que ? An ? n et F la partie de E d ?e ?nie par F Ak n ??N k ? n On dit qu ? un ?el ?ement de F appartient a une in ?nit ?e des Ak ou encore que F est l ? ensemble limsup An C Montrer que F ?? T et que F C ? est le lemme de Borel-Cantelli Application soit fn n et f des fonctions d ?e ?nies sur E a valeurs r ?eelles T B R -mesurable On suppose que pour tout a on a ? fn ?? f a ? n Montrer que la suite de fonctions fn n converge simplement - presque-partout vers f Exercice Soit E un ensemble non-vide T P E et a ?? E On pose pour tout A ?? T ?a A si a ?? A si a ?? A On appelle ?a la mesure de Dirac en a i Montrer que ?a est e ?ectivement une mesure ii Montrer que ?a est ?- ?nie iii D ?eterminer les parties de E n ?egligeables pour ?a Soit D un ensemble d ?enombrable i e en bijection avec N c ? est le cas de Z et Q par exemples muni de la tribu T P D Pour tout A ?? T on pose A Card A Si A est un ensemble ?ni A est alors son cardinal si A est in ?ni A