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Modelisation des systemes 1

Module Systèmes Asservis Niveau eme Anne ELT Chapitre Modélisation des systèmes Modélisation Pour commander correctement un système il est nécessaire de dé ?nir un modèle mathématique qui représente la relation entre les signaux d ? entrée et les signaux de sortie À l ? aide de ce modèle mathématique il est possible de calculer la sortie du système étudié si on conna? t l ? entrée et les conditions initiales L ? ensemble des procédures permettant d ? obtenir un modèle mathématique est la modélisation Quand le système étudié est complexe l ? écriture des lois physique régissant le système devienne di ?cile Dans ce cas on cherchera un modèle de représentation permettant de modéliser le fonctionnement du système étudié Ce chapitre a pour but de donner les principales représentations d ? un système dynamique linéaire continu temps invariant monovariable Représentations temporelles Représentation par une équation di ?érentielle La plupart du temps on représente un système dynamique linéaire continu monovariable d ? entrée u t et de sortie y t par une équation di ?érentielle à coe ?cients constants de la manière suivante o? les coe ?cients ai et bi sont des constantes réelles telles que ac an b et bm soient non nuls n et m sont des entiers positifs tels que m ? n pour que le système soit causal n est l ? ordre du système c est un entier positif ou nul appelé classe du système Cette équation di ?érentielle est une représentation entrée sortie du système La solution de cette équation représente l ? évolution de la sortie du système y t au cours du temps en fonction de l ? entrée u t et de conditions initiales Exemple Considérons le circuit RLC suivant On veut déterminer la relation liant u t tension d ? alimentation et y t le courant i t L ? équation de maille donne Exemple La Figure montre une suspension de masse M dont on veut dé ?nir la relation liant le déplacement linéaire y t sortie et la force f t entrée - L ? équation de Newton donne C Représentation par le modèle d'état La forme générale d ? un tel modèle d'état est donnée par la forme suivante O? A est la matrice d ? état ou d ? évolution B est la matrice d ? entrée C est la matrice de sortie ou d ? observation et le scalaire D représente la transmission directe de l ? entrée sur la sortie L ? état et la sortie peuvent ainsi être calculés à tout instant pour des condition initiale x quelconques On adopte fréquemment le schéma- bloc donné par la Figure pour illustrer cette représentation Exemple Reprenons l'exemple électrique Supposons maintenant que la sortie du système est la tension aux bornes du condensateur Dans ce cas on a On choisit deux variables d ? états n Alors en obtient On en déduit la représentation d ? état Représentation par fonction de transfert Une représentation très utilisée pour