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Td9 corrige Licence MIASHS ?? Analyse MI AX Corrigé des exercices - du TD no ?? Formules de Taylor Corrigé de l ? exercice a Formule de Taylor-Young supposons que f soit de classe Cn sur I Alors pour tout h ?? R tel que x h appartienne à I on peut écrire

Licence MIASHS ?? Analyse MI AX Corrigé des exercices - du TD no ?? Formules de Taylor Corrigé de l ? exercice a Formule de Taylor-Young supposons que f soit de classe Cn sur I Alors pour tout h ?? R tel que x h appartienne à I on peut écrire f x h f x hf x h f x hn n f n x hn h n hk k f k x hn h k o? h est une fonction qui tend vers quand h tend vers b Formule de Taylor-Lagrange supposons que f soit de classe Cn sur I Alors pour tout h ?? R tel que x h appartienne à I il existe ?? tel que l ? on ait f x h n hk k f k x hn n f n x h k notons ici que dépend de h La partie principale de la série de Taylor de f en x à l ? ordre n est le polynôme n hk k f k x k par convention Un développement limité de f en x à l ? ordre n est la donnée d ? un polynôme P de degré n tel que l ? on ait pour tout h tel que x h appartienne à I f x h P h hn h o? h est une fonction qui tend vers quand h tend vers Corrigé de l ? exercice La fonction f x ? ex est sa propre dérivée et vaut en Ainsi les coe ?cients f k sont tous égaux à la formule de Taylor- Young en à l ? ordre s ? écrit donc ex x x x x x x Commençons par calculer les premières dérivées de la fonction f x ? ln x f x ln x f x f x ??x ?? f x x ?? f x ?? x ?? x Les valeurs respectives de ces fonctions en sont ?? et ?? La formule de Taylor-Young en à l ? ordre s ? écrit donc ln h h ?? h h ?? h h x Il vient alors d ? o? ln h h ?? h h ?? h h x ln h ?? h lim h ? h ? C La formule de Taylor-Young en à l ? ordre pour la fonction polynomiale P x x x x s ? écrit h P h P hP P h P En e ?et comme P est de degré toutes ses dérivées à partir de P sont nulles D ? autre part en regardant bien la formule ci-dessus on réalise qu ? il n ? y a pas besoin de calculer les coe ?cients P P et P En e ?et il su ?t de calculer P h pour expliciter la formule P h h h h h h h h h h h h h Ce calcul permet au passage d ? a ?rmer que P P P et P ?? Commençons par calculer les