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Chapitre 1 introduction a l x27 analyse numerique

Institut des Hautes Etudes ème Année Anouar Bouazza - Chapitre INTRODUCTION A L ? ANALYSE NUMERIQUE I Avant propos L ? analyse numérique est une discipline des mathématiques Elle s ? intéresse tant aux fondements théoriques qu ? à la mise en pratique des méthodes permettant de résoudre par des calculs purement numériques des problèmes d ? analyse mathématique L ? objet de l ? analyse numérique est de concevoir et d ? étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques en général issus de la modélisation de problèmes réels et dont on cherche à calculer la solution à l ? aide d ? un ordinateur Plus formellement l ? analyse numérique est l ? étude des algorithmes permettant de résoudre les problèmes de mathématiques continues distinguées des mathématiques discrètes Cela signi ?e qu ? elle s ? occupe principalement de répondre numériquement à des questions à variable réelle ou complexe comme l ? algèbre linéaire numérique sur les champs réels ou complexes la recherche de solution numérique d ? équations di ?érentielles et d ? autres problèmes liés survenant dans les sciences physiques et l ? ingénierie II Introduction Certains problèmes de mathématique continue peuvent être résolus de façon exacte par un algorithme Ces algorithmes sont appelés méthodes directes Des exemples sont l ? élimination de Gauss-Jordan pour la résolution d ? un système d ? équations linéaires et l ? algorithme du simplexe en programmation linéaire Par ailleurs certains problèmes continus peuvent parfois être remplacés par un problème discret dont la solution est connue pour approcher celle du problème continu ce procédé est appelé discrétisation Par exemple la solution d ? une équation di ?érentielle est une fonction Cette fonction peut être représentée de façon approchée par une quantité ?nie de données par exemple par sa valeur en un nombre ?ni de points de son domaine de dé ?nition même si ce domaine est continu L ? utilisation de l ? analyse numérique est grandement facilitée par les ordinateurs CInstitut des Hautes Etudes ème Année Anouar Bouazza - L ? accroissement de la disponibilité et de la puissance des ordinateurs depuis la seconde moitié du XXe siècle a permis l ? application de l ? analyse numérique dans de nombreux domaines scienti ?ques techniques et économiques avec souvent des e ?ets révolutionnaires III Domaines d'études Le champ de l ? analyse numérique est divisé en di ?érentes disciplines suivant le type de problème à résoudre et chaque discipline étudie diverses méthodes de résolution des problèmes correspondants Parmi les exemples de méthodes d ? analyse numérique en voici quelques-unes utilisées pour discrétiser un système d'équations la méthode des éléments ?nis la méthode des di ?érences ?nies la méthode des di ?érences divisées la méthode des volumes ?nis Calcul des valeurs de fonctions Un des problèmes les plus simples est l ? évaluation d ? une fonction à un point donné Mais même l ? évaluation d ? un polynôme approchant n ? est pas aussi évidente qu ?