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Cours edp École Centrale Paris Mathématiques D Verwaerde et P Laurent-Gengoux Analyse des équations aux dérivées partielles P Laurent-Gengoux Année - C Analyse des équations aux dérivées partielles ECP - CTable des matières Rappels et prérequis Quelques f

École Centrale Paris Mathématiques D Verwaerde et P Laurent-Gengoux Analyse des équations aux dérivées partielles P Laurent-Gengoux Année - C Analyse des équations aux dérivées partielles ECP - CTable des matières Rappels et prérequis Quelques formules utiles Notations Formule d ? intégration par parties en dimension N Formule de Stokes Systèmes d ? équations Systèmes linéaires Systèmes d ? équations non linéaires Résolution d ? un système non linéaire par déformation Systèmes di ?érentiels Le problème de Cauchy Systèmes di ?érentiels linéaires homogènes Principes de construction d ? équations aux dérivées partielles Les lois de conservation ou d ? équilibre Les principes d ? extrémalité Exemples d ? équations aux dérivées partielles Les problèmes linéaires canoniques Un problème aux limites elliptique linéaire l ? équation de Poisson Un problème d ? évolution parabolique linéaire l ? équation de la di ?usion Une équation linéaire du premier ordre l ? équation d ? advection Un problème d ? évolution hyperbolique linéaire l ? équation des ondes Les problèmes classiques de la physique mathématique Les équations de transport ou de convection avec réaction et di ?usion La di ?usion avec rayonnement L ? élasticité linéaire L ? écoulement des uides Les phénomènes vibratoires Les équations de Maxwell Exemples de problèmes plus complexes C Analyse des équations aux dérivées partielles Quelques outils d ? analyse des E D P Propriétés des opérateurs linéaires aux dérivées partielles Opérateurs linéaires aux dérivées partielles Opérateurs du premier et second ordre Symétrie Fonctions propres Noyau des opérateurs Transformation de Fourier Transformation de Laplace Application de la linéarité de l ? opérateur Découplage des données Décomposition à l ? aide de fonctions spéciales Formulation faible des équations aux dérivées partielles Équivalence des formulations Formulation au sens des distributions Utilisation des formulations faibles Interprétation des formulations faibles Calcul des variations Position du problème Le théorème d ? Euler-Lagrange Généralisations Système du premier ordre équivalent à un système donné Principe Exemples Le théorème de Cauchy-Kovalevska Position du problème Le théorème de Cauchy-Kovalevska forme canonique Commentaires Surface caractéristique Système quasi-linéaire Les problèmes aux limites Introduction Quelques dé ?nitions Dé ?nition des problèmes aux limites Systèmes d ? équations elliptiques Problème associé à un potentiel Position du problème Equation dérivant d ? un potentiel Potentiel coercif Potentiel convexe Analyse des conditions aux limites Exemples d ? analyse de problèmes aux limites Équation elliptique linéaire du second ordre générale ECP - CTABLE DES MATIÈRES Di ?usion et membrane Di ?usion non homogène Importance des signes Vibration forcée Une équation faiblement non-linéaire Une équation fortement non linéaire Une équation conditionnellement elliptique Quelles lois linéaires de di ?usion impliquent l ? ellipticité Quelles lois non linéaires de di ?usion impliquent l ? existence et l ? unicité Cas non convexe Cas non convexe Cas non convexe Cas non convexe Un exemple sans potentiel la convection di ?usion Exemples en mécanique du solide Élasticité linéaire Élasticité non linéaire Les équations d ? évolution Introduction Quelques dé ?nitions Exemples Position du problème Classi ?cation de problèmes élémentaires