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Exercices dinterrogations orales en mpsi

Exercices d ? interrogations orales en MPSI Alexandre Popier janvier CTABLE DES MATIÈRES Table des matières Analyse Ensembles et applications Ensembles usuels de nombres Dénombrement Suites Nombres complexes Fonctions usuelles Limite et continuité Dérivabilité Développements limités Intégration Calcul intégral Formules de Taylor fonctions convexes Intégration sur un intervalle quelconque Sommes et produits Equations di ?érentielles Calcul di ?érentiel Intégrales doubles Algèbre Groupes Anneaux corps Espaces vectoriels Espaces vectoriels de dimension ?nie Polynômes Fractions rationnelles Matrices Déterminants Systèmes linéaires Produit scalaire Espaces vectoriels euclidiens Arithmétique de Z Arithmétique des polynômes CTABLE DES MATIÈRES Géométrie Géométrie du plan Géométrie de l ? espace Courbes planes paramétrées Courbes en coordonnées polaires Coniques CCHAPITRE ANALYSE Chapitre Analyse Ensembles et applications Exercice Soit f E ? F Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes f est surjective ?? y ?? F f f ?? y y ?? Y ? F f f ?? Y Y le seul Y ? F tel que f ?? Y ? est ? Solution et sont équivalentes car f et f ?? commutent avec la réunion De plus f ?? y ? ?? y ?? f E Et toutes les autres équivalences en découlent Exercice Soient E un ensemble et p E ? E une application telle que p p p Montrer que si p est injective ou surjective alors p IdE Soient E un ensemble et f E ? E une application telle que f f f f Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective Solution Si p injective de p p x p x on obtient p x x Si p est surjective pour x ?? E il existe t ?? E tq x p t p p t p x Si f est injective f f f x f x implique f f IdE donc bijective Si f est surjective pour x ?? E il existe t ?? E tq x f t d ? o? f f x f f f t f t x Exercice Soient E F G trois ensembles tels que E ? f F ? G une application Montrer que f est injective si et seulement si pour tout g h ?? F E f g f h ?? g h Soient F G H trois ensembles tels que H ait au moins deux éléments et f F ? G une application Montrer que f est surjective si et seulement si pour tout g h ?? HG g f h f ?? g h CCHAPITRE ANALYSE Solution Réciproque f y f z On pose g E ? F qui à x associe y et h E ? F qui à x associe z Comme E ? il existe x ?? E tel que g x y et h x z Réciproque il existe z z ?? H tel que z z On pose g G ? H qui à y associe z et h G ? H qui à y associe z si y ?? f F