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Integration 1 Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année - Cours et compléments Une construction de l'intégrale de Riemann ? Objectifs ? C Dé nir une notion d'aire donc l'intégrale En déduire les propriétés essentielles de l'intégrale I Contextualisation I Motiva

Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année - Cours et compléments Une construction de l'intégrale de Riemann ? Objectifs ? C Dé nir une notion d'aire donc l'intégrale En déduire les propriétés essentielles de l'intégrale I Contextualisation I Motivation Dé ?nition Dé ?nition TS de l ? intégrale L ? int ?egrale de la fonction f entre a et b est l ? aire alg ?ebrique orient ?ee sous la courbe C Quelques explications ? Sous la courbe signi e de la surface délimitée par les courbes d'équation y x a x b et y f x ? Algébrique C signi e que les portions situées au dessus de l'axe des abscisses comptent C positivement et celle situées en dessous négativement ? Orientée signi e que si on a a b les signes doivent être opposés Quid du mot aire Deux impératifs L'aire d'un rectangle doit être largeur ? longueur L'aire d'une réunion disjointe doit être la somme des aires Quelles fonctions veut- on pouvoir intégrer Les fonctions continues Mais pas que penser à une fonction créneau c'est bien le moins de pouvoir l'intégrer I Fonctions continues par morceaux fonctions en escalier Dé ?nition Subdivision On appelle subdivision de a b un n -uplet a a an tel que a a an b a a an Exemple La subdivision régulière de pas b ??a n ai a i b ??a n CLycée Alphonse Daudet - MPSI Année - Cours et compléments Dé ?nition Relation de ?nesse sur les subdivisions Soient n m ?? N et a m b et a ? ? ?n b deux subdivisions de a b On dit que C m est plus ne que ? ? ?n lorsqu ? elle contient plus de points On notera les diverses formulations équivalentes suivantes C m est plus ne que ? ? ?n m n et tous les ?i sont des j ? ?n ? m il existe une application strictement croissante n ? m telle que n m et ??i ?? n i ?i Lemme Si f ?? Cpm a b R alors la subdivision canoniquement associ ?ee a f est moins ?ne que toute subdivision adapt ?ee a f Démonstration Cela résulte C immédiatement des dé nitions Lemme Si a m b et a ? ? ?n b sont deux subdivisions de a b alors il existe une subdivision a ? ? ?N b plus ?ne que m et plus ?ne que ? ? ?n E Démonstration Il su t de noter ? ? ?N les éléments de m ?? ? ? ?n Dé ?nition Fonction continue par morceau On appelle fonction d ?e ?nie par morceaux sur a b une fonction f d ?e ?nie sur a b telle qu ? il existe une subdivision a a an pour laquelle ? toutes les f ai ai sont continues ? toutes les f ai ai se prolongent par continuit ?e sur ai ai On dit alors que a a an est une subdivision associ ?ee a f L'ensemble