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Chap23 variables ame atoires

Chapitre Variables aléatoires Dans tout ce chapitre p désigne un espace probabilisé ?ni I Généralités A Dé ?nitions Dé ?nition Une variable aléatoire est une application dé ?nie sur à valeurs dans un ensemble E Lorsque E ? R on parle de variable aléatoire réelle Remarque On parle de variable aléatoire alors qu ? il s ? agit d ? une fonction Notation On note généralement X une telle application X ? E w ? X w Dé ?nition X X w w ?? est l ? ensemble des valeurs prises par X X est appelé support de X ou encore univers image Remarque étant ?ni X est un ensemble ?ni Ainsi X xj j ?? J o? J est un ensemble de cardinal ?ni plus précisément card J ? card Exemple Un sac contient jetons indiscernables au toucher Deux d ? entre eux portent le chi ?re deux également le chi ?re et portent le chi ?re On tire simultanément jetons du sac La somme des chi ?res indiqués par les jetons tirés est une variable aléatoire X Quelles valeurs peut-elle prendre Pour dénombrer tous les couplages possibles on doit distinguer les jetons portant le même numéro On les notera et On obtient alors On en déduit que X CB Événements associés à une variable aléatoire Dé ?nition Soit A une partie de E Alors X ?? A w ?? X w ?? A est un événement de que l ? on note abusivement X ?? A ou X ?? A Remarque Si A x alors X ?? x w ?? X w x noté aussi X x Si X est une variable aléatoire réelle alors X ?? a ? w ?? X w a noté plus simplement X a Soient a et b réels tels que a b Alors X ?? a b w ?? a ? X w b noté plus simplement a ? X b Exemple On reprend l ? exemple précédent avec et que X Alors par exemple ?? X X ?? ?? X ?? X ? X ?? X Remarque Très souvent on ne précisera pas On se contentera de donner les valeurs que X peut prendre c ? est-à-dire le support de X Propriété Les valeurs du support forment un SCE Soit X une variable aléatoire dé ?nie sur On note X xj j ?? J Alors X xj j ?? J est un système complet d ? événements Démonstration Propriété Remarque Cette propriété très importante est souvent utilisée dans les exercices Par exemple si on a trouvé que X x xn alors pour tout événement A la formule des probabilités totale impliquera que n p A p X xk p X xk A k CC Lois de probabilité de X Dé ?nition Soit X une variable aléatoire On appelle loi de probabilité de X ou distribution de probabilité de X l ? application pX X ? x ? p X x Remarque On notera très souvent pi p X xi Donner la