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Corrige td3 2 MDI Statistiques année Corrigé Feuille de travaux dirigés Solution Exercice On a Xi i ??i d Poiss ? Le modèle pour une observation est P Poiss ? ? Le paramètre est ? et l ? espace des paramètres est ? ? On a E ? X k ? k ?k k e ?? ? ? k ?k ??

MDI Statistiques année Corrigé Feuille de travaux dirigés Solution Exercice On a Xi i ??i d Poiss ? Le modèle pour une observation est P Poiss ? ? Le paramètre est ? et l ? espace des paramètres est ? ? On a E ? X k ? k ?k k e ?? ? ? k ?k ?? e ?? ? k ? k ?? ? ?k e ?? ? k ? k ? Donc en considérant l ? observation X X Xn et en posant n S X n i Xi On a par linéarité de l ? espérance n E ? S X n i E ? Xi ? Le biais de S en tant qu ? estimateur de ? est donc biais S ? E ? S X ?? ? de sorte que S est un estimateur non biaisé de ? On est dans le cadre de l ? estimation d ? une fonction du paramètre g ? e ?? ? a Un estimateur est une fonction des données donc S X e ??S X est un estimateur de qui parait raisonnable ? puisque S estime sans biais ? Cependant S est biaisé En e ?et puisque la fonction g est strictement convexe et puisque la variable aléatoire Y S X ? R n ? est pas constante on a g E Y E g Y c ? est-à-dire puisque E Y E S X ? et g Y e ??S X S e ?? ? E S de sorte que biais S ? E S X ?? g ? et S est biaisé ?? ?? CMDI Statistiques année b Un estimateur non biaisé de e ?? ? est une statistique S telle que E ? S X e ?? ? On remarque que e ?? ? P ? X E X o? est la fonction F F indicatrice A x F F F F si x ?? A sinon Ainsi en posant S X n n Xi i on a bien E ? S X n n i P ? Xi e ?? ? E ?cacité des estimateurs rappelons qu ? un estimateur S X non-biaisé d ? une quan- tité g ? ?? R est appelé e ?cace lorsque Var ? S g ? I ? o? I ? est l ? infor- mation de Fisher relative à l ? observation X lorsque X ?? P ? Dans le cas o? X X Xn est un échantillon i i d avec Xi ?? P ? le vecteur X est distribué selon la loi produit P ? ? n et l ? information de Fisher pour le n-échantillon est I ? nI ? o? I ? est l ? information de Fisher pour une seule observation X ?? P ? a S est biaisé donc il ne peut pas être e ?cace b S est non biaisé Il reste à calculer sa variance et l ? information de Fisher I ? Un calcul similaire à celui