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Cours ensembles finis et denombrement

c Christophe Bertault - MPSI Ensembles ?nis et dénombrement Dé ?nition Ensemble ?ni in ?ni Soit E un ensemble On dit que E est ?ni s ? il est vide ou si pour un certain n ?? N? il existe une bijection de l ? ensemble n sur E on dit sinon que E est in ?ni Explication Ce chapitre est intégralement dirigé par une idée l ? idée selon laquelle une bijection de E sur F établit une correspondance parfaite entre les éléments de E et les éléments de F c ? est la manière qu ? ont trouvé les mathématiciens pour décrire la taille le nombre d ? éléments des ensembles ?? appelé cardinal Cette théorie nous permettrait de parler aussi des ensembles in ?nis si nous le voulions mais cela n ? est pas au programme ?? et c ? est plus compliqué Cardinal d ? un ensemble ?ni Dé ?nition Cardinal d ? un ensemble ?ni Soit E un ensemble ?ni non vide On appelle cardinal de E ou nombre d ? éléments de E tout entier n ?? N? pour lequel il existe une bijection de n sur E On convient que le vide est de cardinal ce qu ? on note card ? Théorème Unicité du cardinal i Soient m n ?? N Il existe une bijection de m sur n si et seulement si m n ii Soit E un ensemble ?ni Il existe un et un seul cardinal de E noté card E ou E ou E Démonstration i Résultat admis ii Soient m et n deux cardinaux de E i e deux entiers naturels non nuls pour lesquels existent une bijection f m ?? ? E et une bijection g n ?? ? E Alors g ?? f est une bijection de m sur n et aussitôt m n via l ? assertion i Exemple Soient m n ?? Z tels que m n Alors m n est ?ni et card m n n ?? m En e ?et Soit f l ? application n ?? m k ?? ? ?? ? m n k m ?? Cette application est bijective car l ? appli- cation m n k ?? ? ?? ? n ?? m k ??m en est la réciproque Cela montre bien le résultat voulu Théorème Soient E et F deux ensembles On suppose que E est ?ni et qu ? il existe une bijection de E sur F Alors F est ?ni et card E card F Démonstration Si E est vide le résultat est immédiat car F est alors vide lui aussi Supposons donc que E n ? est pas vide et puisque E est ?ni donnons- nous une bijection g de card E sur E Soit alors f une bijection de E sur F conformément à l ? hypothèse du théorème Alors f g est une bijection de card E sur F donc en e ?et F est ?ni et card F card E par