Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Cours iv logarithm neperin

CHAPITRE Fonctions logarithme Sommaire Partie A s La fonction logarithme népérien Dé ?nition Propriétés algébriques Étude de la fonction logarithme népérien Variations de la fonction x ? ln x Nombre e Croissance comparée avec les fonctions puissance CCh Fonctions logarithme Partie A s Au début du xviie siècle navigateurs ?nanciers et surtout astronomes sont confrontés à des calculs astronomiques Pour faciliter ces calculs le théologien physicien astronome et mathématicien écossais John Napier - en français Neper recherche une fonction qui puisse transformer des produits très compliqués à calculer en sommes plus abordables Il est amené à rechercher des fonctions f véri ?ant f a ? b f a f b le logarithme népérien est né La fonction logarithme népérien Dé ?nition Dé ?nition On appelle fonction logarithme népérien notée ln l ? unique fonction f dé ?nie et dérivable sur ? ayant pour dérivée la fonction x ? x et véri ?ant pour tous réels a et b strictement positifs f a ? b f a f b Propriétés algébriques propriété fondamentale Propriété Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier relatif alors ? produit ln ab ln a ln b ? inverse ln a ?? ln a ? quotient ln a b ln a ?? ln b ? puissance ln an n ln a ? racine carrée ln ??a ln a CCh Fonctions logarithme En résumé le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes les quotients en di ?érences et les puissances en multiplications Démonstrations ? inverse on a a ? a Donc ln a? a ln ? ?? ln a ln a ? ?? ln a ?? ln a ? quotient on peut écrire ln a b ln a? b ln a ln b ln a ?? ln b ? puissance ln an ln a ? a ? ? a n fois ln a ln a ln a n fois n ln a ? racine carrée on a ??a ? ??a a Donc ln ??a ? ??a ln a ? ?? ln ??a ln ??a ln a ? ?? ln ??a ln a Remarque La propiété fondamentale se généralise au cas d ? un produit de n facteurs ln a ? a ? ? an ln a ln a ln an Exemple Transformations d ? expressions numériques ? ln ln ? ln ln ln ln ? ln ln ?? ln ln ?? ln ln ?? ln ? ln ?? ln ln ? ln ln CCh Fonctions logarithme Étude de la fonction logarithme népérien Variations de la fonction x ? ln x D ? après la dé ?nition la fonction x ? ln x est dé ?nie sur ? de dérivée la fonction x ? x La dérivée étant positive la fonction logarithme népérien est donc croissante sur ? On admet la propriété suivante Propriété ? lim ln x ?? ? et ? lim ln x ? x ? x ? ? Conséquence la droite x est une asymptote verticale