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Cours mathematiques ingenieur

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L ? INGENIEUR Cours de ?lière MAM ISTIL deuxième année Ionel Sorin CIUPERCA Le but de ce cours est d ? introduire un outil très utilisé dans la modélisation mathématique les distributions Le cours s ? adresse en principal à des élèves des écoles d ? ingénieurs ?lière modélisation mathématique La plupart des résultats sont donnés sans démonstration les détails des preuves étant données en classe CTable des matières Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et à l ? intégrale de Lebesque La mesure de Lebesque L ? intégrale de Lebesque Les espaces de Lebesque La théorie des distributions Introduction L ? espace D des fonctions test La notion de distribution Convergence dans D Dérivation des distributions Produit entre une fonction C ? et une distribution Primitives des distributions en dimension Convolution des distributions et applications à la résolution des équations di ?érentielles Support d ? une distribution Support d ? une fonction Dé ?nition du support d ? une distribution La convolution des distributions Applications à la résolution des équations di ?érentielles linéaires à coe ?- cients constants Généralités Solution fondamentale du laplacien et applications CChapitre Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et à l ? intégrale de Lebesque La mesure de Lebesque On va introduire d ? abord la mesure de Lebesque qui est en fait un nombre réel positif ? qu ? on associe à ??tout ? ensemble de IRn En fait on n ? associera à tout ensemble de IRn une mesure mais seulement à certains en- sembles qu ? on peut grouper dans une collection des ensembles appellée tribu de Lebesque Mais on evitera les complications mathématiques et on fait comme si on associe une mesure à tout ensemble de IRn En fait les ensembles auxquelles on n ? associe pas de mesure sont des ensembles qui ne sont jamais utilisés dans les applications des ensembles qui ne sont pas intuitives Dans la suite pour tout ensemble X on notera P X l ? ensemble des parties de X Dé ?nition Soit X un ensemble et soit P X ? ? ?? IR ?? ? On dit que est une mesure sur X si a ? ici ? est l ? ensemble vide b Pour toute suite des ensembles An n ??IN avec An ? X ??n ?? IN et avec An disjointes deux à deux An ?? Am ? ?? n m on a ??n ??INAn An n ??IN Conséquences Si A A An ? X avec Ai ?? Aj ? ?? i j alors n ??in Ai Ai i En particulier pour tous A B ? X avec A ?? B ? on a A ?? B A B C Si A B ? X avec A ? B alors A ? B car B A ?? B ?? A avec A ?? B ?? A ? donc B A B ?? A Mais comme B ?? A ? on a le résultat