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Cours methodes numeriques approfondies

Résolution des équations di ?érentielles ordinaires C CHAPITRE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES En t t on a d t f t y t ?? t y y hf t y y En d'autres termes d t est proche de la solution analytique y t c'est à dire y t y d t y hf t y Il est important de noter que le plus souvent y y t Donc si on souhaite faire une deuxième itération et obtenir une approximation de y t on peut refaire l'analyse précédente à partir du point t y on remarque cependant que la pente de la solution analytique en t t est y t f t y t On ne conna? t pas exactement y t mais nous possédons l'approximation y de y t On doit alors utiliser l'expression y t f t y t f t y et construire la droite d t f t y t ?? t y qui permettra d'estimer y t On a alors y t y y hf t y On remarque que l'erreur commise à la première itération est réintroduite dans les calculs de la deuxième itération C MÉTHODES DE TAYLOR Algorithme d'Euler Etant donné un pas h une condition initiale t y et un nombre maximal d'itérations N Pour ? n ? N yn yn hf tn yn et tn tn h écrire tn et yn Arrêt Remarque La méthode d'Euler est de loin la méthode la plus B simple de résolution numé- rique d'équations di érentielles ordinaires Elle possède une belle interprétation géométrique et son emploi est facile Toutefois elle est relativement peu utilisée en raison de sa précision Exemple B Soit l'équation di érentielle y t ??y t t y On prend h et f t y ??y t Le tableau suivant rassemble les résultats des dix premières itérations On peut montrer que la solution analytique de cette équation est y t e ??t t ce qui permet de comparer les solutions numérique et analytique et de constater la croissance de l'erreur ti y ti yi y ti ?? yi Méthodes de Taylor Le développement de Taylor autorise une généralisation immédiate de la méthode d'Euler qui permet de diminuer l'erreur d'approximation Nous nous limitons cependant à la méthode de Taylor du second ordre On cherche au temps t tn une approximation de la solution en t tn On a immédiatement Leonhard Euler - y tn y tn h y tn y tn h y tn h o h C ? CHAPITRE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES B En se servant de l'équation di érentielle on trouve y tn y tn f tn y tn h f tn y tn h o h et on a donc Ainsi on obtient ? f t y t ? f t y t f t y t y t ? t ? y ? f t y t ? f t y t f t y t f t y t ? t ? y y tn