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Td4 l1mg 2011 Université de Provence Mathématiques Générales Feuille d ? exercices n Théorie des ensembles applications ?? I Théorie des ensembles Exercice symboles de théorie des ensembles Soient X un ensemble non vide et A B C trois parties de X Explici

Université de Provence Mathématiques Générales Feuille d ? exercices n Théorie des ensembles applications ?? I Théorie des ensembles Exercice symboles de théorie des ensembles Soient X un ensemble non vide et A B C trois parties de X Expliciter les formules de théorie des ensembles x ?? A ?? B x ?? A ?? B x ?? Ac o? c désigne le symbole de complément au moyen des connecteurs logiques et des symboles élémentaires x ?? A et x ?? B Déterminer les ensembles suivants X ?? ? c Xc ?? ? X ?? ? c X ?? ? c Xc ?? ? c Xc ?? ? c ?? X Montrer que A ?? B ? A ?? C et A ?? B ? A ?? C ?? B ? C Exercice Opérations sur les ensembles Soient E F et G trois ensembles Montrer les propriétés suivantes a E ?? F ?? G E ?? G ?? F ?? G b E ?? F ?? G E ?? G ?? F ?? G Soient A et B des parties d ? un ensemble E montrer a A ?? B c Ac ?? Bc b A ?? B c Ac ?? Bc c A ? B ?? Bc ? Ac Soient A et B des parties d ? un ensemble E démontrer que A ?? B E ?? Ac ? B ?? Bc ? A Exercice extrait examen Soient A B C D des parties d ? un ensemble E non vide telles que l ? on ait les quatre hypothèses A ?? B C ?? D C ?? D E C ? A D ? B Prouver que C A puis que D B Exercice Produit cartésien Etant donnés deux ensembles A et B on appelle produit cartésien de A par B l ? ensemble x y x ?? A y ?? B C Soit A B et C Expliciter les produits cartésiens A ? B B ? A C ? B A ?? C ? B ainsi que l ? ensemble A ? B ?? C ? B Que remarque-t-on Peut-on généraliser le résultat Enoncer un résultat analogue avec les symboles ?? et ? Soient les sous-ensembles de R suivants I J K L Dessiner dans le plan rapporté au repère orthonormé i j les ensembles I ? J et K ? L déterminer I ? J ?? K ? L Pour les ensembles quelconques A B C D déterminer en justi ?ant le résultat A ? B ?? C ? D Montrer en donnant un contre-exemple que A ? B ?? C ? D n ? est en général pas un produit cartésien Que vaut ? ? B Résoudre l ? équation A ? B ? Exercice Ensemble des parties d ? un ensemble Soit l ? ensemble A a b c d Déterminer P A L ? ensemble P ? est-il vide Si E est un ensemble à k éléments combien P E a-t-il d ?