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TS Variables aléatoires ?nies Dé ?nitions Dé ?nition Une variable aléatoire est une fonction X qui à chaque événement élémentaire d ? une expérience aléatoire associe un nombre réel X ?? ? R ? ?? ? X ? On note X l ? ensemble de valeurs prises par X On dit que la variable aléatoire est ?nie si l ? ensemble de ses valeurs X est un ensemble ?ni Remarque ? On peut voir une variable aléatoire ?nie comme une grandeur numérique X pre- nant di ?érentes valeurs x x xn avec les probabilités p p pn lors d ? une expérience aléatoire ? L ? ensemble des valeurs p P X x p P X x pn P X xn dé ?nit une loi de probabilité sur X x x xn ? Les événements X x X x X xn sont les événements élémentaires de cette loi ? On résume souvent la loi de probabilité de la variable aléatoire X dans un tableau xi x x xn pi P X xi p p pn Dé ?nition L ? espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre noté E X dé ?ni par n E X pi xi p x p x pn xn i Remarque E X est la valeur moyenne de la variable aléatoire après un grand nombre de répétitions de l ? expérience aléatoire Si on s ? intéresse à un jeu c ? est le gain moyen après un grand nombre de parties un jeu est dit équitable si E X Propriété Linéarité de l ? espérance Soient a et b deux réels On a E aX b aE X b maths muller gmail com VARIABLES ALÉATOIRES FINIES CDé ?nition La variance de la variable aléatoire X est le nombre noté V X ou Var X dé ?ni par n V X pi xi ?? E X p x ?? E X p x ?? E X pn xn ?? E X i C ? est à dire Propriété V X E X ?? E X V X E X ?? E X C ? est à dire n V X pi xi ?? E X p x p x pn xn ?? E X i Dé ?nition L ? écart-type de X est ? X V X Remarque L ? écart-type est un indicateur de dispersion plus il est élevé et plus les valeurs de X sont hétérogènes dispersées Il caractérise la ?abilité d ? un processus ou encore un risque Propriété Soient a et b deux réels On a ? V a X b a V X ? ? a X b a ? X Exemple détaillé On considère le jeu suivant On lance trois fois de suite une pièce équilibrée ? À chaque fois que pile sort on gagne ? À chaque fois que face sort on perd maths muller gmail com VARIABLES ALÉATOIRES FINIES CPour modéliser cette situation on va faire un arbre er tirage P F e tirage P