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?? Epreuves écrites A - MATHEMATIQUES I - ?lière MP I LE SUJET L' objet du problème est de prouver le classique théorème de Frobenius La partie I fait établir l'existence d'un vecteur propre strictement positif pour une matrice carrée à coe ?cients réels positifs ou nuls La partie II propose une méthode d'approximation pour construire un tel vecteur propre Le sujet met en jeu une partie du programme d'analyse Plus précisément les notions suivantes jouent un rôle important dans le problème notion de borne supérieure topologie d'un espace vectoriel normé de dimension ?nie valeur d'adhérence etc ? II REMARQUES GENERALES Le problème est très long et comporte beaucoup de notations La grande majorité des candidats a du mal à assimiler l'énoncé et à bien comprendre de quoi il retourne Toutefois certains d'entre eux semblent avoir étudié en classe une partie des notions utilisées dans l'énoncé La rédaction des candidats est en général imprécise et hésitante Personne ne traite le problème en totalité Cependant un très petit nombre de candidats impressionne le jury et obtient une note voisine de La plupart des questions demandent d'établir des énoncés faciles et techniques dans lesquels la réponse est donnée Il est donc souvent malaisé de faire la di ?érence entre une tentative de blu ? et une rédaction vague émanant d'un candidat qui a à peu près compris ce qu'il faut faire Une tentative de tricherie s'avère pénalisante pour son auteur car par la suite l'examinateur interprète toute rédaction vague comme une tentative de blu ? La moyenne générale est de l'ordre de L'écart type est de l'ordre de III REMARQUES PARTICULIERES Nous allons indiquer quelques erreurs ou maladresses fréquemment commises Si a est inférieur à b alors pour a ?rmer que ax est inférieur à bx il faut dire que x est un réel positif Dans la question beaucoup de candidats passent de ? min ? à min ? par un argument de borne supérieure qui n'est absolument pas précisé ce qui indispose le correcteur Peu de candidats savent montrer que si f ? fk sont des fonctions continues alors min f ? fk est continue Une fonction continue sur une partie bornée de Rn n'est pas forcément bornée et même si elle l'est elle n ? atteint pas forcément ses bornes Pour a ?rmer que ?j aij xj ? ?j aij xj il faut préciser que les aij sont positifs Si M mij ? i j ? n alors la matrice Mk n'est pas égale à mij k ? i j ? n Dans la question il ne su ?t pas de dire que Rl et Rm commutent il faut dire pourquoi à savoir que Rl et Rm sont des polynômes en T CIV CONCLUSION Il est préférable de commencer par lire tranquillement la totalité du sujet pour assimiler les notations et comprendre de quoi il retourne Il est très important d'écrire lisiblement et d'encadrer les résultats obtenus À propos d'une question dont la réponse est donnée dans l'énoncé le jury