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pdfsam jean claude dupin jean luc valein introduction

ELÉMENTS DE LOGIQUE a Le calcul propositionnel ou calcul assertionnel a But du calcul assertionnel Dans le cadre d'une théorie mathématique G donnée une assertion est une phrase mathématique à laquelle on peut attribuer une et une seule valeur de vérité à savoir vrai Ven abrégé ou faux F en abrégé Toutes les phrases d'une théorie ne sont pas des assertions il en existe auxquelles il est impossible d'attacher une valeur de vérité elles sont dites indécidables Sans aborder cette question ici signalons qu'il ne faut pas confondre indécidable et sans signi ?cation nous ne rencontrerons que peu de phrases indécidables nous ne rencontrerons dans les exercices et exemples que des assertions vraies ou fausses et des expressions sans signi ?cation mathématique Une assertion P vraie est appelée proposition on dit alors qu'on a P ou que P est vraie Selon l'importance qu'on donne à la proposition au sein de la théorie celle-ci pourra aussi porter le nom de théorème corollaire lemme Dans la plupart des exemples que nous donnerons ici et dans la suite G sera la théorie des nombres réels sauf mention expresse Par exemple la théorie des groupes la théorie des espaces vectoriels de façon générale nous désignerons dans cet ouvrage par théorie un ensemble de connaissances relatives à un domaine donné des mathématiques la dé ?nition d'une théorie dépasse le cadre de cet ouvrage Nous n'aborderons pas la syntaxe du langage c'est-à-dire la manière dont ces phrases sont construites Un théorème est une proposition jugée importante dans le développement de la théorie un corollaire est une proposition qui est conséquence immédiate d'une proposition déjà démontrée un lemme est une proposition intermédiaire utilisée au cours de la démonstration de certaines propositions CExemples est un nombre est une proposition est un nombre est une assertion fausse n'est pas une assertion car J n'est même pas une phrase est une assertion fausse x étant un réel donné fX est une assertion seulement si x car si x Jx n'existe pas et Jx n'a donc pas de signi ?cation de sens x étant un réel donné x est une proposition si x - une assertion fausse si x - le ciel est bleu n'est pas une assertion dans le cadre de la théorie des nombres réels Soit 'G une théorie mathématique quelconque 'G débute à partir du choix des axlomes ou postulats de la théorie notons que la plupart des théories mathématiques admettent entre autres les propositions de la théorie des ensembles voir le chapitre ces propositions de base et leurs négations permettent de construire les autres assertions de 'G Si on appelle la classe des assertions de cette théorie la théorie évolue au fur et à mesure de la découverte et de l'étude d'éléments de et de l'obtention de leurs valeurs de vérité De façon générale en connectant comme nous le ferons dans la suite des éléments de on obtient encore des éléments de dont on étudie les valeurs de vérité gr? ce aux tables de vérité des connecteurs