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Akeke cours l 1 maths info logiquemathematique pdf

Objectif du cours L ? objectif général de ce cours est de faire conna? tre aux étudiants des bases de la logique mathématique modes de raisonnement logique des notions de relations binaires sur les ensembles qui sont des fondements pour les mathématiques et l ? informatique A la ?n de ce cours l ? étudiant doit être capable de D ? établir des tables de vérités Traduire certaines expressions à l ? aide des connecteurs ou quanti ?cateurs lo- giques Savoir appliquer des modes de raisonnement logique Appliquer des propriétés des ensembles Reconnaitre des applications injectives des applications surjectives des appli- cations bijectives Savoir justi ?er qu ? une relation binaire sur un ensemble est une relation d ? équi- valence et savoir d ? éterminer les classes d ? équivalence Savoir justi ?er qu ? une relation binaire sur un ensemble est une relation d ? ordre CChapitre Éléments de logique Sommaire Propositions Connecteurs La négation La conjonction La disjonction L ? équivalence L ? implication logique Quanti ?cateurs et Règle générale d ? application Quanti ?cateurs Règle générale d ? application Quelques formes de raisonnement Raisonnement par implication Raisonnement par équivalence Le raisonnement par l ? absurde Raisonnement par récurrence Raisonnement par contre-exemple Propositions Dé ?nition Une proposition P est un énoncé qui est vrai dans certaines conditions faux dans d ? autres mais dont on peut décider dans toute situation donnée s ? il est vrai ou faux On attribue donc à chaque situation donnée l ? une des valeurs de vérité ? V vrai ou ? F Faux à la proposition P CCHAPITRE ÉLÉMENTS DE LOGIQUE Exemple ? P Le Liberia est un pays de l ? Afrique est un énoncé vrai ? Q Pour tout entier naturel n il existe un entier naturel m tel que m n La proposition Q est fausse ? R Quelle belle maison L ? énoncé R n ? est pas une proposition ? Il a fait beau le jour J n ? est pas une proposition car les critères de décison sont insu ?sants Notons que certaines propositions sont considérées comme vérité absolue qui ne se déduisent pas d ? autres propositions vraies elles traduisent dans certains cas des propriétés évidentes On les appelle des axiomes Par exemple l ? énoncé suivant est un axiome de la Géométrie euclidienne Par deux points distincts du plan il passe une droitre et une seule Étant donnée une proposition on est souvent amené à déterminer si elle est vraie ou fausse On regroupe diverses propositions de la façon suivante Connecteurs Si P Q R sont des propositions tout énoncé formé à partir de ces propositions et des liaisons et ou non est encore une proposition puisqu ? on peut dans chaque situation décider de sa vérité Cette grammaire des propositions se mathématise à l ? aide de signes que l ? on nomme connecteurs La négation La négation d ? une proposition P est notée non P ou bien P La négation