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Algebre 1 3 Algèbre générale Jean-Romain Heu CIntroduction Ce polycopié contient les dé ?nitions et propriétés du cours d ? algèbre La plupart des exemples et démonstrations seront donnés en cours L ? ensemble des documents liés à ce cours sera disponible

Algèbre générale Jean-Romain Heu CIntroduction Ce polycopié contient les dé ?nitions et propriétés du cours d ? algèbre La plupart des exemples et démonstrations seront donnés en cours L ? ensemble des documents liés à ce cours sera disponible sur le site jeanromain heu free fr Des tests sur les di ?érents chapitres seront accessibles sur Moodle https moodle insa-strasbourg fr Les objectifs de ce cours sont les suivants Acquérir les méthodes de raisonnement et la rigueur scienti ?que Ma? triser le langage mathématique et savoir rédiger une démonstration Développer des capacités d ? abstraction Ma? triser un certain nombre d ? outils mathématiques indispensables pour la suite des études A ?n d ? atteindre ces objectifs il est absolument nécessaire d ? apprendre le cours d ? en étudier les démonstrations et les exemples et de préparer les exercices avant d ? aller en travaux dirigés Le programme du cours est le suivant Logique langage mathématique et raisonnements Arithmétique Ensembles et applications Le corps des nombres complexes Groupes anneaux corps L ? anneau des matrices Le cours d ? algèbre du second semestre sera consacré aux espaces vectoriels à l ? algèbre linéaire et aux équations di ?érentielles CI Logique langage mathématique et raisonnement Éléments de logique Dé ?nition Une proposition logique est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer une valeur de vérité soit vrai ? soit faux ? Exemples ? l ? ensemble a possède éléments ? est un nombre premier ? cos sin ? ? est un nombre entier ? sont des propositions logiques Connecteurs logiques Les connecteurs logiques sont des opérations permettant de créer de nouvelles propositions à partir de propositions existantes La négation Soit P une proposition La négation de P ou non P ? notée P est la proposition qui est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie On peut décrire la proposition P à l ? aide d ? une table de vérité P P VF FV La conjonction et La conjonction de deux propositions P et Q est la proposition P et Q ? notée également P ?? Q qui est vraie si P et Q le sont et qui est fausse sinon Sa table de vérité est P Q P et Q VV V VF F FV F FF F CLa disjonction ou La disjonction de deux propositions P et Q est la proposition P ou Q ? notée éga- lement P ?? Q qui est vraie si l ? une au moins des deux propositions l ? est et qui est fausse sinon Sa table de vérité est P Q P ou Q VV V VF V FV V FF F L ? implication Soient P et Q deux propositions L ? implication de P vers Q est la proposition P ou Q On la note P ?? Q et on la lit P implique Q ? Sa table de vérité est PQ VV VF FV FF P ?? Q V F V V On