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Anneaux 2 MAT Théorie des anneaux François Bergeron et Christophe Reutenauer et exercices par Nathan Chapelier avril Département de mathématiques FACULTÉ DES SCIENCES Université du Québec à Montréal C CTable des matières Page Anneaux et corps Introdution

MAT Théorie des anneaux François Bergeron et Christophe Reutenauer et exercices par Nathan Chapelier avril Département de mathématiques FACULTÉ DES SCIENCES Université du Québec à Montréal C CTable des matières Page Anneaux et corps Introdution Dé ?nitions Exemples Sous-anneaux Produits et homomorphismes Idéaux et quotients Corps Algèbre d ? un mono? de Polynômes en plusieurs variables Exercices Anneaux euclidiens Dé ?nitions de base Théorèmes principaux Algorithme d ? Euclide Le cas des polynômes Entiers de Gauss Polynômes cyclotomiques ? Codes polynomiaux Théorème des restes chinois Exercices Anneaux de Polynômes Introduction Factorialité Base de Hilbert ? Bases de Gr? bner Anneaux quotients de polynômes ? Anneaux de coordonnées ? Polynômes symétriques Exercices Corps ?nis Galois Cardinal des corps ?nis Thm de Wedderburn Classi ?cation des corps ?nis ? Théorie de Galois Exercices CTABLE DES MATIÈRES Bibliographie commentée Rappels ensembles fonctions Rappels groupes TABLE DES MATIÈRES CIntroduction Un des objectifs fondamentaux de la théorie des anneaux est d ? organiser la ré exion autour de la résolution de systèmes d ? équations algébriques en plusieurs variables C ? est là un problème central en mathématiques Déjà le cas particulier des solutions dans C d ? une seule équation à une inconnue correspond au théorème fondamental de l ? algèbre et c ? est l ? objet d ? étude de la théorie de Galois Comme autre cas spécial on a les systèmes o? toutes les équations sont de degré qui donne sa raison d ? être à l ? algèbre linéaire Il est aussi inévitable de mentionner le lien avec la théorie algébrique des nombres et le célèbre théorème de Fermat prouvé par Wiles sur l ? existence de solutions ou non de l ? équation xn yn zn n ?? N En ?n les solutions de systèmes d ? équations polynomiales correspondent aux variétés algébriques l ? objet d ? étude de la géométrie algébrique et ce n ? est pas tout On s ? intéresse par exemple à la résolution d ? un système d ? équations comme x y ?? y x y ?? Les équations polynomiales jouent un rôle dans de nombreux domaines d ? applications de la mathématique Elles apparaissent naturellement en robotique théorie des codes biologie mathématique théorie des jeux intelligence arti ?cielle sciences économiques statistiques et de nombreux autres contextes Cela est entre autres rendu possible par l ? introduction d ? outils de calcul symbolique performant et la théorie joue un rôle important dans l ? élaboration de ces outils Pour s ? initier à leur utilisation le chapitre du livre Calcul mathématique avec Sage est une excellente référence Les notions de la théorie des anneaux jouent un rôle prépondérant dans de nombreux domaines des mathématiques comme la théorie de la représentation des groupes et des algèbres la topologie algébrique l ? analyse fonctionnelle les ?-anneaux de même qu ? en physique mathématique Pierre de Fermat ?? Andrew John Wiles ?? Disponible gratuitement sur le web http sagebook gforge inria fr CTABLE DES MATIÈRES