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Chapitre i notion de logique

Notion de logique C PROPOSITION ET PRÉDICAT La logique permet de modéliser et d ? étudier le raisonnement mathématique Assertion ou énoncé Les phrases du langage courant sont de plusieurs types déclaratif exclamatif ? En maths l ? intérêt est porté sur les phrases déclaratives que l ? on nomme énoncé ou assertion Proposition Proposition énoncé auquel on attribue une valeur de vérité soit vraie soit fausse Attention un énoncé n ? est pas forcément une proposition Prédicat En maths on travaille souvent avec des variables Dé ?nir une variable x signi ?e que l ? on dé ?nit automatiquement l ? ensemble dans lequel elle varie soit E XXE Un prédicat est un énoncé qui peut contenir plusieurs variables et qui devient une proposition chaque fois que les variables sont ?xées dans leurs ensembles respectifs Exemples X E X est un prédicat X est impair n ? est pas un prédicat car x n ? est pas dé ?nit OPÉRATIONS SUR LES PROPOSITIONS ET LES PRÉDICATS Propositions p q ? appelées variables propositionnelles à partir desquelles on peut construire des propositions plus complexes La conjonction et s ? écrit à l ? aide du connecteur logique elle permet de former la proposition p q La valeur de vérité de la proposition p q dépend de la valeur de vérité de p et de celle de q On résume ceci dans la table de vérité p q p q Remarque On fait toutes les tables dans le même ordre P q est vrai si et seulement si les deux propositions sont vraie en même temps Le connecteur est un binaire la disjonction v ou p v q ou ? logique Table de vérité p q Pvq p v q est vraie si au moins une des propositions est vraie Le connecteur v se di ?érencie de celui du langage courant ou exclusif car lui-même est non exclusif Le connecteur v est binaire C La disjonction exclusive noté entouré Elle correspond à la proposition composée p q v p q p q est vraie si et seulement si une et une seule des propositions p et q est vraie On retrouve ainsi le sens du langage courant p q p q La négation C ? est une opération unitaire connecteur logique de préférence une barre verticale sur la proposition A partir de p on note non p p p p L ? implication logique permet de créer p q p q est faux quand p est vrai et que q est faux Lorsque p q est vraie on dit que p est une condition su ?sante de q et que q est une condition nécessaire de p Equivalence permet de former p ??q p p p ??q p ??q est vraie lorsque p et q sont toutes les deux vraie ou toutes les deux fausses Remarque Toutes les opérations dé ?nies sur les propositions s ? appliquent aux prédicats sachant qu ? un prédicat devient une proposition lorsque les variables sont