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Cours sur la valeur absolue classe de seconde

VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTSDistance entre deux nombres réels Dé ?nition On appelle distance ou écart entre réels x et y la distance sur la droite numérique entre les points d'abscisses x et y on la note d x y Exemples Sur la droite réelle on considère les points ci-dessous AD OB On a alors ?? ?? ?? ?? d ?? OA d ?? ?? DA d BC d OC C d ?? OD d ?? DC Cas particulier La distance entre et x est égale à Autrement dit ? x si x est positif í ? x si x est negatif d x max -x x De même pour la distance entre deux réels x et y on est amené à distinguer deux cas La distance entre x et y est égale à ? y - x si y est plus grand que x í ? x - y si x est plus grand que y Conclusion d x y est parmi les di ?érences y ?? x et x ?? y celle qui est positive Autrement dit d x y max y - x x - y Remarque la notion de distance est symétrique d x y d y x Valeur absolue d'un nombre réel ? Dé ?nition On appelle valeur absolue d'un réel x la distance ou l'écart entre et x On la note x On a donc x d x Autres caractérisations x max -x x ? si x x x ? sgn x o? sgn est la fonction signe dé ?nie par sgn x ? í si x ? ? - si x x x Exercice écrire sans les valeurs absolues l'expression x - x On pourra faire un tableau en distiguant les trois cas x ?? - - x ?? et x Valeurs absolues Page G COSTANTINI http bacamaths net C Propriétés de la valeur absolue Langue française P La valeur absolue d'une quantité A est un nombre positif P Une quantité A dont la valeur absolue est nulle est nulle P Deux quantités dont les valeurs absolues sont égales sont soit égales soit opposées P La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues P La valeur absolue d'un quotient est égale au quotient des valeurs absolues P La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues Langage mathématique A ? pour tout A ? ? A entraine A A B entraine A B ou A ??B AB A B A A lorsque B BB A B ?? A B Inégalité triangulaire Théorème Quels que soient les réels x et y on a d x y x ?? y Théorème Si A ?? B et -A ?? B alors A ?? B et réciproquement Variante -B ?? A ?? B Û A ?? B Exercices d'application des propriétés et des théorèmes Concerne Résoudre les équations ci-dessous P et P x ?? x x x ?? x ?? P ?? x x Théorème x ?? ou