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Ds n0 1 enonce CPGE IBN ABDOUNE - MPSI - DS n - Samedi Septembre de h à h Vous êtes invités dans ce devoir que dans autres à porter une attention particulière à la propreté et à la clarté de votre copie Et pour vous encourager je vais noter la rédaction s

CPGE IBN ABDOUNE - MPSI - DS n - Samedi Septembre de h à h Vous êtes invités dans ce devoir que dans autres à porter une attention particulière à la propreté et à la clarté de votre copie Et pour vous encourager je vais noter la rédaction sur points N B Les trois exercices et le problème sont indépendants Exercice Un peu de logique pts - Quelle est la négation de la proposition ??M ?? ??a ?? ??x ?? ??a a f x M pt - La proposition suivante est elle vraie Justi ?er ??z ?? ?? ?? z z pts - Soit f ? une fonction Exprimer que f s'annule au plus une fois à l'aide des quanti ?cateurs pt Exercice Récurrence pts - Montrer que - Montrer que n ??n ?? ? pts ? k n k ??m ?? m ? m pt - en déduire que ??m ?? m ? m pts k k Exercice Une relation d'équivalence pts Considérons sur la relation binaire dé ?nie par ?? x y ?? x y ?? x ?? y ?? x y - Montrer que est une relation d'équivalence sur pts - Déterminer l'ensemble des classes d'équivalence de pts Problème Théorème de CANTOR-BERNSTEIN pts Le but de ce problème est montrer le théorème de CANTOR-BERNSTEIN qui dit Pour deux ensembles non vides s'il existe une injection du premier dans le deuxième et une autre du deuxième dans le premier alors il y a une bijection entre les deux Dans tout le problème E et F deux ensembles non vides f une injection de E dans F et g une injection de F dans E On démontrera l'existence d'une bijection de E dans F Pour cela on dé ?nit les deux suites A n n ?? ?? P E et Bn n ?? ?? P F par les récurrentes suivantes A E g F ??n ?? B n f An ??n ?? An g B n ?? I - Supposons que A ? - Montrer que g est bijective pt - Conclure pt CII - Supposons que A ?? ? - Montrer que ??n ?? An ?? ? et B n ?? ? pt - En déduire que les ensembles A An et B B n ne sont pas vides pt n ?? n ?? - Montrer que ??a ?? A f a ?? B pts - Considérons l'application f A ? B Montrer que f est bijective pts a f a - Supposons dans cette question que C B F ? a - Montrer que C A E ? pt b - Conclure pt - Maintenant on va supposer que C B F ?? ? a - Construire une injection de C B F dans C A E à partir de g On la note g pts E ?F b - Soit l'application x f x x ??A g ?? x x ??C A E Montrer qu'elle est bijective c - Conclure III - Application En considérant les