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Expeuler TP - Introduction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler - De nombreux phénomènes physiques biologiques économiques ou autres sont modélisés par une fonction qui est proportionnelle à sa dérivée ' Par exemple le phénomène de désintég

TP - Introduction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler - De nombreux phénomènes physiques biologiques économiques ou autres sont modélisés par une fonction qui est proportionnelle à sa dérivée ' Par exemple le phénomène de désintégration de noyaux radioactifs Nous allons ici nous intéresser à l'une des fonctions de ce type Plus particulièrement que peut-on dire d'une fonction qui serait égale à sa dérivée Nous connaissons déjà au moins une fonction égale à sa dérivée la fonction nulle Mais cette fonction est sans intérêt Notre objectif est d'en rechercher d'autres Première partie théorique de l'importance d'une condition initiale Supposons qu'il existe une fonction non nulle dé ?nie et dérivable sur ? telle que ' sur ? Soit l ? ? On pose g l Démontrer que g' g sur ? Soit g une fonction véri ?ant aussi g' g sur ? Que peut-on dire de g Supposons maintenant qu'il existe une fonction dé ?nie et dérivable sur ? véri ?ant les conditions P í? ? y y y a On considère la fonction c dé ?nie sur ? par c x x -x Montrer que c est une fonction constante égale à sur ? En déduire que ne s'annule pas sur ? b Démontrer que si g est une fonction qui véri ?e P alors g sur ? On pourra considérer la fonction h dé ?nie sur ? par h g Commentaire On constate dans cette partie que s'il existe une fonction non nulle solution de l'équation di ?érentielle y' y alors il en existe une in ?nité Cependant en imposant une condition initiale ici s'il existe une solution à notre équation di ?érentielle alors elle est unique Dans la suite la fonction est l'unique fonction satisfaisant les conditions P ? í ? y y y Nous allons maintenant essayer de tracer la représentation graphique de gr? ce à la méthode d'Euler On suppose pour le moment qu'une telle fonction existe La preuve rigoureuse de cette existence sera faite ultérieurement Introduction de l'exponentielle par la méthode d'Euler Page G COSTANTINI http bacamaths net CDeuxième partie numérique vers la représentation graphique On rappelle que si est une fonction dérivable en a alors il existe une fonction j telle que a h a h ' a hj h o? lim j h h D'o? l'approximation a h a h ' a C'est sur cette approximation dite a ?ne qu'est basée la méthode d'Euler Cette approximation est d'autant meilleure que h est petit En utilisant les conditions satisfaites par démontrer que pour tout n ? ?? on a a nh h n a On note un la suite dé ?nie sur ?? par un h n a Démontrer que un est géométrique et préciser sa raison Dans cette question on suppose a On a donc nh h n a On pose x nh Démontrer que pour n assez grand x ç? è x n ? ? ? n Note cette approximation est d'autant meilleure que n est grand C'est cette suite