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Fondements des mathematiques pdf

Fondements des mathématiques Cantor et G? del Jean-Baptiste Campesato janvier Cet article présente les débuts de la logique mathématiques en se rattachant à l ? histoire de la crise des fondements La première partie présente le contexte historique et ne contient aucune information théorique La seconde partie quant à elle présente les travaux de Cantor qui ont initié la théorie des ensembles pour cela on a expliqué et démontré certains résultats fondamentaux de ce dernier de façon rigoureuse Ensuite la troisième et dernière partie donne des démonstrations et des détails à propos des deux résultats de G? del de ainsi que leurs conséquences en ce qui concerne les fondements des mathématiques ?? x dé ?nie la négation de x Notons qu ? il existe des théories alternatives à ZF C pour axiomatiser la théorie des ensembles par exemple la théorie des classes aussi nommée Théorie des ensembles de von Neumann ??Bernays ?? G? del Introduction - contexte historique Depuis le ive siècle av J -C et pendant plus de deux millénaires la logique qui consiste en l ? étude des règles régissant la déduction a été considérée comme une branche propre à la philosophie et comme étant aboutie On pensait en e ?et que la logique classique dé ?nie par Aristote selon les principes d ? identité de non-contradiction et du tiers exclu ne pouvait plus évoluer Tout avait été dit Cependant en George Boole publie son Mathematical Analysis of Logic qui marque le début de la logique étudiée d ? un point de vue mathématique Il munit la paire de deux lois de compositions internes et dé ?nies ainsi on peut véri ?er qu ? il dé ?nit une algèbre que l ? on nomme algèbre de Boole en son honneur En posant qu ? une proposition vaut dans l ? algèbre de Boole si et seulement si elle est fausse qu ? elle vaut si et seulement si elle est vraie et que l ? on considère la loi comme l ? opérateur de conjonction ou ET et la loi comme l ? opérateur de disjonction ou OU Boole retrouve les lois de la logique classique x x l ? identité x ?? x la non-contradiction et x ?? x le tiers exclus La même année Auguste De Morgan montre dans Formal Logic or The Calculus of Inference ses lois de dualité que l ? on nomme aujourd ? hui lois de De Morgan qui lient entres elles les négations de la conjonction et de la disjonction ?? xy ?? x ?? y et ?? x y ?? x ?? y La logique symbolique était née Cependant ses détracteurs l ? ont considérée comme limitée pour les raisons suivantes tout comme pour la logique classique elle part du principe que toute propriété est soit vraie soit fausse ce point de vue manichéen ne permet pas de décrire l ? ensemble de notre monde et de plus elle est entièrement fondée sur le principe du tiers exclu Elle va