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Logique mathematique cours 1

NIVEAU Sc expérimentale ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? NOTIONS DE LOGIQUE page - - PROPOSITION - FONCTION PROPOSITIONNELLE ?? LES QUANTIFICATEURS A PROPOSITION a Dé ?nition On appelle une proposition un énoncé mathématique texte mathématique qui a un sens pouvant être vrai ou faux mais pas les deux en même temps Et on note souvent une proposition par les lettres P Q ou R etc b Valeur de vérité d ? une proposition vraie ou bien fausse présente la valeur de vérité de la proposition Si la proposition est vraie on note V ou p Si la proposition est fausse on note F ou Tableau de vérité d ? une proposition est ci-contre c Exemples P est un nombre pair ? proposition est vraie Q ? proposition est fausse R ABCD est un parallélogramme alors les diagonales se coupe on leur milieux ? proposition est vraie B FONCTION PROPOSITIONNELLE a Dé ?nition On appelle une fonction propositionnelle tout énoncé contenant une variable x ou plusieurs variables ??x y z ?? et qui appartiennent à des ensembles déterminé on note P ?? x ?? ou P ??x y z ?? b Remarque si on remplace les variables par un élément de ces ensembles la fonction propositionnelle devient une proposition c Exemple A ??x ?? pour tout x de on a x ? x ? est une fonction propositionnelle si x ? on obtient une proposition vraie si x ? ?? on obtient une proposition fausse A ??x y ?? pour tout x et y de on a x ? y x y ? est une fonction propositionnelle si x ? et y ? on obtient une proposition vraie si x ? ?? et y ? on obtient une proposition fausse C les quanti ?cateurs a Quanti ?cateur universel l ? expression suivante pour tout x de E la proposition Q ?? x ?? est vraie ? On la note ? x ? E Q ??x ?? ? Le symbole ? s ? appelle quanti ?cateur universel et il se lit pour tout ou quel que soit Exemples ? x ? x ? x ? ? x ? ? y ? x ? y ? x y ? b Quanti ?cateur existentiel l ? expression suivante il existe un x de E la proposition Q ?? x ?? est vraie ? On la note ? x ? E Q ??x ?? ? Le symbole ? s ? appelle quanti ?cateur existentiel et il se lit il existe Exemples ? x ? x ? ? ? ? a ? ? b ? ? c ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? c Le symbole ? l ? expression suivante il existe un unique x de E la proposition Q ?? x ?? est vraie ? On la note ? x ? E Q ??x ?? ? Exemple ? x ? x ? ? ? - - C ? ? ? ? ?