Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Notes courstd sd chap2 3 Chapitre Systèmes dynamiques topologiques Dans ce chapitre nous nous intéressons à la classe des systèmes dynamiques topologiques Ce sont les systèmes dynamiques o? l ? ensemble X est au moins un espace topologique et l ? applicat

Chapitre Systèmes dynamiques topologiques Dans ce chapitre nous nous intéressons à la classe des systèmes dynamiques topologiques Ce sont les systèmes dynamiques o? l ? ensemble X est au moins un espace topologique et l ? application f ou le ot véri ?ent certaines propriétés de continuité Notion du système dynamique topologique Les systèmes dynamiques à temps discret Soit X un espace topologique Une application continue f X ? X est dite système dynamique topologique à temps discret ou tout simplement système dynamique topologique Lorsque f est un homéomorphisme c ? est-à- dire f est bijective continue et f ?? est continue alors on dit que f est un système dynamique topologique inversible Exemple Pour ?? R la rotation R S ? S est un homéomorphisme du cercle S Donc R est un système dynamique topologique inversible sur le cercle S Pour traiter cet exemple procède en trois étapes Etape On munit d ? une topologie le rendant homéomorphe au cercle S de R muni de la topologie usuelle induite par celle de R C ? est pour cette raison que nous confondons avec S Cette topologie quotient q sur est la collection O ? q ?? O est un ouvert de L ? application quotient q est donc par dé ?nition une application continue Par passage au complémentaire un ensemble F de est un fermé si et seulement si q ?? F est un fermé Prof Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications M S C Systèmes dynamiques topologiques La topologie q de est engendrée par la base B a b a b ?? a ?? b a b Etape L ? espace muni de la topologie ainsi dé ?nie est homéomorphe au cercle S de R muni de la topologie usuelle induite par celle de R On dé ?nit l ? application f ? S par f x cos ?x sin ?x o? S cos ?x sin ?x x ?? Ici x ?? est confondu avec sa classe d ? équivalence x Etape Pour tout ?? R l ? application rotation du cercle R S ? S est un homéomorphisme sur S Pour la démonstration voir TD Série d ? exercices no Les systèmes dynamiques à temps continu Soit X un espace topologique Un ot t t ??R o? t X ? X est une application telle que t x ?? ? t x est conti- nue sur R ? X est appelé un ot topologique Un semi- ot t t ??R o? t X ? X est une application telle que t x ?? ? t x est continue sur R ? X est appelé un semi- ot topologique Un ot ou un semi- ot topologique est aussi appelé un système dynamique topologique à temps continu ou tout simplement un système dynamique topologique On en déduit les remarques suivantes ?? Si t t ??R est un semi- ot topologique alors l ? application t X ? X est continue pour tout t